大学金融风险管理上册《风险度量与模型》练习题

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本单元考点（5 个）

风险度量的概率方法蒙特卡洛模拟在风险度量中的应用极值理论（EVT）Copula函数与相关性度量风险模型验证与回测

本单元练习题（27 题）

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1. 某模型每日报告损失的99% VaR。对250个独立交易日回测，实际损失超过VaR的天数为6。采用Kupiec无条件覆盖率检验，统计量为LR=2[x ln((x/250)/0.01)+(250−x)ln((1−x/250)/0.99)]，自由度为1，5%显著性水平的临界值为3.841。应作何判断？ A. 拒绝模型，因为超限次数高于理论期望次数 B. 不拒绝模型，因为LR小于临界值 C. 拒绝模型，因为LR小于临界值 D. 不拒绝模型，因为超限次数不等于理论期望次数

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2. 某投资组合风险分析师用蒙特卡洛模拟生成20个等概率的一日损失样本（单位：万元），模拟结果为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、20、30。按经验分位数法，将样本升序排列后取第⌈20×0.95⌉个样本作为95%置信水平的一日VaR；CVaR取所有严格超过该VaR的损失样本的算术平均值（若没有样本超过VaR，则CVaR等于VaR）。据此计算该组合95%置信水平的一日VaR与CVaR分别为： A. VaR=20万元，CVaR=30万元 B. VaR=20万元，CVaR=20万元 C. VaR=18万元，CVaR=25万元 D. VaR=30万元，CVaR=30万元

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3. 某风险模型以固定置信水平每日报告VaR，回测得到连续100组相邻交易日的违约指示变量转移计数：n₀₀=80、n₀₁=10、n₁₀=10、n₁₁=0，其中第一下标为前一日、第二下标为后一日，1表示实际损失超过VaR。采用Christoffersen违约独立性似然比检验，统计量为LR_ind=−2ln(L₀/L₁)，其中L₀为违约概率不随前一日状态变化时的最大似然，L₁为概率可随前一日状态变化时的最大似然。按自由度1的5%临界值3.841检验，计算LR_ind并给出是否拒绝违约独立性的结论。

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4. 某风险分析师用蒙特卡洛模拟估计某资产组合的一日风险，共生成10个等概率情景，每个情景代表10%的发生概率。模拟得到的一日损失样本（单位：千元）为：150、20、80、300、50、120、10、200、60、90。按经验分位数定义，将样本升序排列后取第⌈N×α⌉个样本作为置信水平α下的VaR； expected shortfall（CVaR）定义为损失超过该VaR的所有样本的平均值（若无超过者则等于VaR）。请计算该组合在95%置信水平下的一日VaR（以万元为单位）与一日CVaR（以万元为单位）。

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5. 某金融机构对日损失超出阈值 u=2% 的超额损失建立广义帕累托分布（GPD）模型，参数估计为形状参数 ξ=0.2，尺度参数 β=5%（以百分比计）。采用峰值超过法（POT），VaR 在置信水平 1−q 下的公式为：VaR_q = u + (β/ξ)×[(q)^(−ξ) − 1]。取 q=0.01（即 99% 置信水平），则 VaR_0.01 ≈ ____%。（保留两位小数，已知 10^0.4 ≈ 2.5119）

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6. 某资产组合一日损失 X（万元）的分布为：P(X=0)=0.94，P(X=10)=0.04，P(X=50)=0.02。设置信水平 95% 对应的 VaR 定义为满足 P(X>v)≤0.05 的最小 v（万元），CVaR 定义为条件期望 E[X | X>VaR]。据此计算：VaR₉₅=____ 万元，CVaR₉₅=____ 万元。

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7. 设某投资组合一日内损失 L（万元）的分布为：P(L=0)=0.90，P(L=20)=0.07，P(L=100)=0.03。若置信水平 95% 的 VaR 定义为 VaR₀.₉₅ = inf{x：P(L≤x)≥0.95}，则该组合的 VaR₀.₉₅ = ____ 万元。

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8. 某机构对组合未来一日损失进行蒙特卡洛模拟，得到2000个等概率情景。按模拟样本中损失最大的1%情景计算经验CVaR；这20个情景的损失合计为31.6百万元。该组合的一日经验CVaR为____千元。

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9. 某基金对日损失率超过阈值 u=1.5% 的超额损失拟合广义帕累托分布（GPD），形状参数 ξ=0.3，尺度参数 β=2%。已知样本容量 n=1000，超过阈值的观测数 N_u=40。依据 peaks-over-threshold 法，该基金日损失率的 99% VaR（即满足 P(L>VaR)=1% 的分位点）最接近于（　） A. 4.94%　B. 3.50%　C. 6.12%　D. 2.87%

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10. 某机构验证一项每日损失VaR模型，预先规定：回测样本中的超越比例不得高于名义超越概率0.4个百分点，模型才通过该项覆盖率检查。该模型报告99%置信水平VaR，回测期为400个交易日。按此规则，最多出现____个超越日仍可通过检查。

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11. 某组合的风险模型每日公布98.5%置信水平的VaR。对600个交易日进行回测，实际损失超过当日VaR共15次。暂不进行显著性检验，仅按回测覆盖率判断模型偏差方向。以下哪项正确？ A. 实证覆盖率为97.5%，表现为低估风险　B. 实证覆盖率为97.5%，表现为高估风险　C. 实证覆盖率为98.5%，模型覆盖率与目标一致　D. 实证覆盖率为2.5%，表现为低估风险

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12. 某投资组合日损失超过阈值 u 后的超额损失 Y 采用广义帕累托分布（GPD）建模，形状参数 ξ=0，尺度参数 β=2%。根据该 EVT 模型，计算超额损失 Y 超过 4% 的条件概率。

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13. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布由 Frank Copula 刻画。下列关于 Copula 函数性质的说法中，正确的是（　　） A. Copula 刻画的是变量间的相依结构，与各自的边缘分布无关 B. Copula 函数的取值范围可以是全体实数 C. 若两变量的 Copula 确定，则其各自的边缘分布也随之唯一确定 D. 相关系数 −1 的两变量对应独立 Copula

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14. 设两个连续风险因子的联合分布由二维高斯 Copula 描述，其潜在标准正态变量的相关系数为 ρ。观测到因子的 Spearman 秩相关系数为 1/3，且高斯 Copula 满足 ρ_S=(6/π)arcsin(ρ/2)。求 ρ 的精确值及四位小数近似值。

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15. 某银行风险模型每日报告99%置信水平的VaR，对250个独立交易日回测，实际损失超过VaR的天数x=5。采用Kupiec无条件覆盖率检验，统计量为 LR=2[x·ln(x/(250p))+(250−x)·ln((250−x)/(250(1−p)))]，其中p=1%为例外率假设值，LR服从自由度为1的卡方分布，临界值为3.84。问：该模型的LR统计量约为多少，检验结论是什么？ A. LR≈1.97，不能拒绝模型正确 B. LR≈3.84，恰好落在临界值上 C. LR≈6.63，拒绝模型正确 D. LR≈11.07，强烈拒绝模型正确

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16. 某商业银行采用内部模型法计量一般市场风险，模型每日报告99%置信水平的VaR。监管回测使用最近250个交易日数据，实际损失超过VaR的例外天数为8天。该银行上一交易日的VaR为1800万元，过去60个交易日的平均VaR为2000万元。依据巴塞尔委员会内部模型法回测的交通灯制度，该银行一般市场风险资本要求为____万元。

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17. 某风险经理用蒙特卡洛模拟生成5个等概率的一日损失样本（单位：万元）：1、4、2、5、3。按经验分位数定义，取升序排列后第⌈5×0.8⌉个样本作为80%置信水平的VaR估计值。该VaR估计值为多少万元？ A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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18. 某机构对组合未来一日损失进行蒙特卡洛模拟，共生成 2000 个等概率情景，其中有 36 个情景的损失超过 50 万元。由模拟结果估计损失超过 50 万元的概率为 ____%。

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19. 某组合的损失额 L（单位：万元）取值为 0、10、30，对应概率分别为 0.80、0.15、0.05。按 VaR₉₅% = inf{x：P(L≤x)≥0.95} 的定义，计算该组合的 95% VaR。

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20. 某风险模型将年度最大损失 X 拟合为广义极值分布，分布函数为 F(x)=exp{-[1+ξ(x−μ)/σ]^(-1/ξ)}，其中 ξ=1、μ=3 百万元、σ=2 百万元。定义 T 年重现水平 z_T 满足 F(z_T)=1−1/T。该模型的 20 年重现水平为____百万元。

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21. 某投资组合一日损失额 L（单位：万元）为离散随机变量，取值为 0、20、60，对应概率分别为 0.90、0.07、0.03。按 VaR 的概率定义：VaR₉₅% = inf{x：P(L≤x)≥0.95}，CVaR₉₅% 定义为损失超过 VaR₉₅% 条件下的期望损失 E[L | L > VaR₉₅%]。求该组合的 VaR₉₅% 与 CVaR₉₅%。

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22. 某二维高斯 Copula 的 Kendall 秩相关系数为 1/2。已知高斯 Copula 参数 ρ 与 Kendall 秩相关系数 τ 满足 τ=(2/π)arcsin(ρ)，则该 Copula 的参数 ρ 为多少？ A. 1/2　B. √2/2　C. √3/2　D. 1

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23. 某交易组合的模型每日报告99% VaR。假设500个交易日的损失独立同分布，回测中有2日实际损失超过VaR。采用Kupiec无条件覆盖率检验，统计量为LR=2[x ln(x/(np₀))+(n−x)ln((n−x)/(n(1−p₀)))],其中n=500、x=2、p₀=0.01。显著性水平为5%，χ²(1)临界值为3.841。计算LR并判断是否拒绝模型覆盖率正确的原假设。

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24. 某银行模型每日报告99%置信水平的VaR，对250个交易日进行回测，统计实际损失超过VaR的天数。依据巴塞尔交通灯法，例外天数落在哪个区间时，该模型被划入绿区（无需附加乘数惩罚）？ A. 0至4天 B. 5至9天 C. 10至14天 D. 15天及以上

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25. 设损失随机变量为 L，置信水平为 α（0<α<1），按概率定义，VaR_α = inf{x：P(L≤x)≥___}。

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26. 设二维随机变量的 Copula 为 Cθ(u,v)=uv[1+θ(1−u)(1−v)]，其中 θ=3/4。Spearman 秩相关系数定义为 ρS=12∫₀¹∫₀¹[Cθ(u,v)−uv]du dv；Kendall 秩相关系数定义为 τ=4∫₀¹∫₀¹Cθ(u,v)∂²Cθ(u,v)/(∂u∂v)du dv−1。计算 ρS 与 τ。

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27. 某组合一日损失额 L（单位：万元）服从正态分布 N(120, 40²)。若 VaR₉₇.₅% 定义为满足 P(L≤x)=0.975 的分位数，取标准正态分布的 97.5% 分位数为 1.96，计算 VaR₉₇.₅%。

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