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沪教版·数学（高中）高二下册《9 削菠萝》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（4 个）

削菠萝问题中的几何体近似圆锥螺旋线的初步认识旋转体侧面积的估算去皮率与模型假设的合理性

本单元练习题（27 题）

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1. 某菠萝可近似看作底面半径 6cm、高 20cm 的圆柱。削皮机沿螺旋线削去表皮，假设削皮后果肉部分仍是圆柱体，其半径为 5cm（即认为表皮被均匀削去一层）。在上述模型假设下，该菠萝的去皮率（削去部分体积与原体积之比）为多少？ A. 5/36　B. 25/36　C. 11/36　D. 1/6

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2. 将一根菠萝近似看作圆柱体，底面半径为5cm，高为30cm。削皮时沿侧面削去一层，忽略上下底面，则削下的菠萝皮面积约为____ cm²（结果用π表示）。

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3. 某菠萝去皮前质量为2.00 kg，实际剥下的果皮质量为0.50 kg，另去除果芯0.10 kg。若建立简化模型，把所有去除物都视为果皮，则模型给出的去皮率为____；与实际去皮率相比，该模型将去皮率____。

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4. 某菠萝可近似看作底面半径10cm、高足够长的圆柱体，果皮厚度均匀。用削皮刀沿圆柱面削去一层厚度为t的果皮（上下底面忽略不计），定义去皮率为削去部分体积与原体积之比。当t=2cm时，去皮率为____；当t=1cm时，去皮率为____。

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5. 某蜜瓜可近似看作底面半径 5cm、高 24cm 的圆柱体。用削皮机削去表皮后，假设剩余果肉部分仍是圆柱体，其底面半径为 4.5cm，高不变（即认为表皮被均匀削去一层，且两端不作处理）。请依据该模型计算这次削皮的去皮率（去皮率 = 削去部分的体积 ÷ 原圆柱体积），结果用百分数表示（保留一位小数）？

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6. 削菠萝时，刀尖沿圆锥形菠萝表面从底面圆周出发，一边绕轴匀速旋转一边沿母线匀速上升直至顶点，其轨迹称为圆锥螺旋线。已知该菠萝的高为12 cm，底面半径为6 cm，刀尖从底面出发到顶点共绕轴旋转4圈。由于旋转与上升都是匀速的，刀尖绕轴旋转的圈数与已上升的高度成正比。当刀尖上升到距顶点还有3 cm处时，刀尖已经绕轴旋转了多少圈？

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7. 某菠萝削皮前可近似看作高相同的圆柱，底面半径为5 cm；削皮后果肉仍近似为圆柱，底面半径为4.5 cm。假设果肉与外皮密度相同，且削皮层均匀。实际称得外皮质量占削皮前总质量的20%。若模型预测的去皮率与实测值相差不超过1.5个百分点，就认为模型合理。按模型计算去皮率，并判断该模型是否合理？

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8. 某菠萝关于中心长轴近似对称，沿长轴剖开的截面轮廓近似为长轴长18 cm、短轴长12 cm的椭圆。若用旋转体近似该菠萝，应选哪种几何体及其半轴长？ A. 球，半径9 cm　B. 圆柱，底面半径6 cm、高18 cm　C. 绕椭圆长轴旋转所得椭球，半轴长9 cm和6 cm　D. 绕椭圆短轴旋转所得椭球，半轴长9 cm和6 cm

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9. 将一只菠萝的外形近似看作圆台，顶部和底部半径分别约为3 cm和6 cm，母线长约为10 cm。若削皮面积近似等于圆台侧面积，估算削下的菠萝皮面积（结果用π表示）？

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10. 削菠萝时，刀尖从圆锥底面圆周上的一点出发，沿圆锥表面一边匀速绕轴旋转、一边匀速上升，至顶点时恰好绕轴旋转5圈。若刀尖上升的高度达到圆锥高的3/5，此时刀尖沿圆锥螺旋线绕轴旋转了多少圈？

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11. 某菠萝可近似看作椭圆 x²/225+y²/64=1 绕其长轴（x轴）旋转一周所得的旋转椭球体。削菠萝时，沿垂直于长轴的两个平面在 x=−12 与 x=12 处分别切去两端，中段削成直圆柱状。求削好后圆柱部分的高与底面直径各是多少？

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12. 把一只菠萝的外形近似看作圆台，测得顶面直径约为8 cm，底面直径约为14 cm，母线长约为12 cm。若削下的菠萝皮面积近似等于圆台侧面积，则估算菠萝皮面积约为____ dm²（结果用π表示）。

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13. 某菠萝可近似看作底面半径为5 cm、高为24 cm的圆柱。削皮时沿侧表面均匀削去厚度为0.5 cm的一层（上下底面不削），削皮后的菠萝仍近似为圆柱，高不变。则削皮前后两个圆柱的底面半径之比为____，削去的菠萝体积约占原体积的____（填百分数）。

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14. 一只菠萝的外形可近似看作圆锥，测得底面直径约为10 cm，母线长（顶点到底面圆周上一点的距离）约为15 cm。削皮时菠萝皮恰好覆盖圆锥的侧面，忽略底面部分的皮。按此模型估算，削下的菠萝皮面积约为多少平方厘米？（结果用π表示）

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15. 将一只菠萝的外形近似看作圆台，已知其侧面积约为90π cm²，母线长约为15 cm，顶面半径约为2 cm。估算底面直径约为____ cm。

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16. 某水果店估算削菠萝皮的用量时，将一只菠萝的外形近似看作圆台，测得其顶部半径约为5 cm，底部半径约为10 cm，母线长约为0.9 dm。若削下的菠萝皮面积近似等于该圆台的侧面积，忽略上下底面，则估算削下的菠萝皮面积约为多少（结果用π表示）？

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17. 某菠萝可近似看作底面半径4 cm、高8 cm的圆柱体。削皮时沿侧面削去厚度1 cm的果皮，且上下底面也各削去厚度1 cm的一层。若建模时假设削皮后果肉仍是高不变、底面半径3 cm的圆柱体（即认为仅侧面均匀削皮），则按模型算得的去皮率为____；按实际削去的体积算得的去皮率为____。

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18. 将一只菠萝的外形近似看作圆锥，测得其底面半径约为4 cm，母线长（顶点到底面圆周上一点的距离）约为10 cm。若削下的菠萝皮面积近似等于该圆锥的侧面积，则估算削下的菠萝皮面积约为（　） A. 20π cm²　B. 40π cm²　C. 80π cm²　D. 160π cm²

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19. 一只菠萝的外形近似看作由两个同轴圆台上下拼接而成，拼接处的圆周不计入削皮面积。下段圆台的下底面半径约为5 cm、上底面半径约为7 cm、母线长约为8 cm；上段圆台的下底面半径约为7 cm、上底面半径约为3 cm、母线长约为10 cm。若削下的菠萝皮面积近似等于这两个圆台侧面积之和，估算其面积是多少？

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20. 一只菠萝的外形近似看作圆台，顶部直径约为9 cm，底部直径约为15 cm，侧面母线长约为0.18 m。忽略顶面和底面，取π≈3.14，估算削下的菠萝皮面积约为多少平方厘米？ A. 339.12　B. 678.24　C. 1356.48　D. 452.16

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21. 削菠萝时，刀尖沿圆锥形菠萝表面从底面圆周上一点出发，一边绕轴匀速旋转、一边沿母线匀速上升直至顶点，轨迹为圆锥螺旋线。已知刀尖从底面到顶点共绕轴旋转6圈。当刀尖恰好到达距顶点为母线长1/3的位置时，刀尖绕轴已旋转的圈数为（　　） A. 2圈　B. 3圈　C. 4圈　D. 5圈

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22. 某菠萝近似看作底面半径6cm、高10cm的圆柱体，果皮厚度均匀为1cm，削皮时侧面与上下底面均削去厚1cm的一层，去皮率指削去部分体积与原体积之比。小明建模时假设削皮后果肉仍是高10cm、底面半径5cm的圆柱体（即忽略上下底面削去的部分），据此算得模型去皮率；实际去皮率应按侧面和上下底面都削去厚1cm计算。下列说法正确的是：模型去皮率与实际去皮率分别为（　　） A. 11/36 与 4/9　B. 11/36 与 11/36　C. 1/6 与 4/9　D. 4/9 与 11/36

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23. 削菠萝时，刀尖沿圆锥形菠萝表面从底面圆周上一点出发，一边绕轴匀速旋转、一边沿母线匀速上升直至顶点，其轨迹称为圆锥螺旋线，且刀尖绕轴旋转的角度与上升的高度成正比。已知该圆锥形菠萝的高为9 cm，刀尖从底面到顶点共绕轴旋转了6圈。当刀尖恰好旋转完第5圈时，刀尖上升的高度为（　　） A. 7.5 cm　B. 7.2 cm　C. 8 cm　D. 6.5 cm

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24. 削菠萝时，刀尖沿圆锥形菠萝表面运动形成的曲线称为圆锥螺旋线。关于圆锥螺旋线，下列说法正确的是（　　） A. 它是平面曲线，一定位于某个平面内 B. 它是位于圆锥面上的空间曲线，绕轴旋转的同时沿轴向逐渐移动 C. 它是圆，只是半径不断变化 D. 它是两条相交的直线

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25. 一个菠萝可近似看作由椭圆绕其长轴旋转所得的旋转体，该椭圆的长轴长为20 cm、短轴长为14 cm。用旋转椭球体近似该菠萝时，其长半轴与短半轴分别应为多少？A. 长半轴20 cm，短半轴14 cm　B. 长半轴10 cm，短半轴7 cm　C. 长半轴10 cm，短半轴14 cm　D. 长半轴7 cm，短半轴10 cm

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26. 削去叶冠后，某菠萝主体的纵向剖面轮廓近似为椭圆，且主体可看作该椭圆绕其长轴旋转形成的几何体。忽略表面凹凸，最合适的近似几何体是___。

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27. 为估算去皮率，小林把菠萝及削皮后的果肉都近似看作圆柱体，并假设果皮厚度处处相同。若实际菠萝明显上窄下宽，则这一模型假设____。

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第5章 导数及其应用（27题）第6章 三角（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）引论（27题）第10章 空间直线与平面（27题）第2章等 等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章 圆锥曲线（9题）第1部分 数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章 三角函数（27题）

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