沪教版·数学（高中）高三下册《第5章导数及其应用》练习题

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本单元考点（5 个）

导数的概念及其几何意义基本初等函数的导数公式与运算法则利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值导数在实际问题中的应用

本单元练习题（27 题）

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1. 某储液装置运行时，储液量 Q（单位：升）与运行时间 t（单位：小时）的关系为 Q(t)=t³/3−2t²+3t+10，0≤t≤4。根据导数确定储液量随时间增加的全部时段，并求这些时段的总时长是多少小时？

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2. 某养殖场拟用总长300米的围栏，借助一面足够长的直线河岸围出一块矩形试验田（靠河一侧不设围栏，围栏恰好全部用完）。设矩形垂直于河岸的边长为x米，则该矩形试验田面积的最大值为（　） A. 5625平方米　B. 10000平方米　C. 11250平方米　D. 22500平方米

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3. 某实验装置运行前5小时的累计处理液体体积模型为 V(t)=t³−6t²+kt+20（升），其中 t 为运行时间（小时），k 为可调参数（升/小时）。为保证这段时间内累计处理体积始终不减少，k 至少应取多少升/小时？

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4. 设整数参数 a，函数 fₐ(x)=x³/3−2x²+ax。若 fₐ(x) 在区间 [−1，3] 上严格单调递增，则 a 的最小值为___。

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5. 某实验装置记录的输出电压为 U(t)=a(t²+t) 伏，其中 t 为运行时间（分钟），a 为待定系数。装置在运行 1 分钟时的瞬时变化率为 12 伏/分钟。按此模型，运行 3 分钟时输出电压的瞬时变化率是多少伏/分钟？

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6. 某小型生产线启动后的累计产量 P（单位：升）与运行时间 t（单位：小时）的关系为 P(t)=t³/3−3t²+kt+12，其中 1≤t≤5，k≥0 为可调参数，单位为升/小时。为保证运行期间累计产量随时间严格增加，k 的最小值是多少升/小时？

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7. 函数 f(x)=3x²+2sin x 的导数 f′(x) 为（　） A. 6x+2cos x　B. 6x+2sin x　C. 3x²+2cos x　D. 6x−2cos x

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8. 设 a 为整数，函数 f(x)=x³−3ax 在区间 [−2，1] 上单调递减，则 a 的最小值为（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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9. 设 f(x)=(a x+1)ln x（x>0），且 f'(1)=4，则 a=____。

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10. 已知函数 y=f(x) 在 x=2 处可导，且 f'(2)=3，则曲线 y=f(x) 在点 (2，f(2)) 处切线的斜率为___。

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11. 已知函数 f(x)=x³·sin x−4x·cos x，则 f′(0)=____；已知 g(x)=x²·ln x，则 g′(1)=____。

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12. 某水池注水过程中，注水后 t 小时的水位高度（单位：米）可用函数 h(t)=t²−4t+7 描述，其中 0≤t≤5。水位在哪个时间区间内单调递增？

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13. 已知函数 y=f(x) 在 x=1 处可导，且 f'(1)=-2，则曲线 y=f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线倾斜角 α 的大小为____（用反三角或角度表示）；由此可知切线的斜率为____。

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14. 已知函数 f(x)=ln x + a/x（x>0），且 f′(1)=−2，则 f′(2)=（　） A. −1/4　B. 1/4　C. −1/2　D. −3/4

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15. 一辆小车沿直线运动，出发后 t 秒的位移为 s(t)=2t²+3t（米），其中 t≥0。小车出发后 1 秒时的瞬时速度是多少？

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16. 某厂生产一种产品，月产量为 x 百件时，月利润（单位：千元）可近似表示为 P(x)=−2x²+80x−100，且 0≤x≤40。为使月利润最大，该厂的月产量应为____件。

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17. 已知函数 f(x)=x³+ax²+3x+1（a 为实数）。若 f(x) 在区间 (0,+∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（　） A. a≥−3　B. a≤3　C. −3≤a≤3　D. a≥3

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18. 一质点做直线运动，位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足s(t)=t²+3t（t≥0）。某研究小组先用导数的定义（差商的极限）求得质点在t=2秒时的瞬时速度，以此作为位移曲线y=s(t)在点(2, s(2))处切线的斜率，并作出该切线。这条切线与时间轴（t轴）的交点对应时刻t₀，则t₀为多少秒？

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19. 函数 y=f(x) 在 x=1 处可导，且 f(1)=2。曲线 y=f(x) 在点 (1，2) 处的切线经过点 (5，10)，则 f'(1)=____。

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20. 某种液体冷却过程中，温度 T（单位：℃）与时间 t（单位：分钟）满足 T(t)=t²-6t+30（0≤t≤4）。根据导数的概念及其几何意义，用差商的极限求出 T'(1)，并说明它在此时段表示温度关于时间的变化率。则第1分钟时液体的瞬时冷却速度（即 T'(1)）是多少℃/分钟？

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21. 已知函数 f(x)=x³−3x²，则 f′(2)=____；已知 g(x)=eˣ·cos x，则 g′(0)=____。

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22. 设函数 f(x)=x³−3x²−9x。求 f(x) 的极大值，以及它在闭区间 [−2,3] 上的最小值：____；____。

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23. 函数 f(x)=x³/3−2sin x+√x 的导数 f′(x) 为（　） A. x²−2cos x+1/(2√x)　B. x²−2cos x−1/(2√x)　C. x²+2cos x+1/(2√x)　D. 3x²−2cos x+1/(2√x)

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24. 某容器中水的体积V（单位：升）与注水时间t（单位：分钟）满足V(t)=6t-t²（0≤t≤3）。某实验小组依据导数的定义（差商的极限）计算注水过程中水面体积在t=2分钟时的瞬时变化率，并据此说明此时体积是增加还是减少。求t=2分钟时体积V关于时间t的瞬时变化率，并指出该时刻体积是在增加还是减少？

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25. 已知函数 f(x)=x³+3ax²−12x+5（a 为实数）。若 f(x) 在区间 (0,1) 上单调递减，则实数 a 的最大值为（　） A. 1　B. 3/2　C. 2　D. 5/2

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26. 设函数 f(x)=(x²+1)eˣ+ln(2x+1)，则 f′(0) 等于（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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27. 曲线 y=f(x) 在点 P(x₀, f(x₀)) 处可导，f'(x₀)=-1。用导数的几何意义判断，该点处切线的倾斜角 α 满足（　） A. α=45°　B. α=135°　C. α=315°　D. α=60°

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沪教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面直角坐标系中的直线（27题）第6章三角（27题）引论（27题）第10章空间直线与平面（27题）第2章等等式与不等式（27题）第6章计数原理（27题）第2章圆锥曲线（9题）第1部分数学建模活动案例（27题）第11章简单几何体（18题）第7章三角函数（27题）第12章概率初步（27题）

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