大学统计计算上册《数值线性代数与统计计算》练习题

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本单元考点（5 个）

LU与Cholesky分解QR分解与最小二乘奇异值分解SVD及应用条件数与数值稳定性迭代法求解线性方程组

本单元练习题（27 题）

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1. 已知设计矩阵 A = [1, v]，其中 1 = (1,1,1)^T，v = (1,2,3)^T，观测向量 b = (2,1,2)^T。对 A 作 Gram-Schmidt 正交化得 Q = [u₁, u₂]，其中 u₁ = (1,1,1)^T/√3，u₂ = (−1,0,1)^T/√2。利用 Q 的列正交性求最小二乘解 β̂ = (β̂₁, β̂₂)^T，则 β̂₁ = ____，β̂₂ = ____，残差平方和 ||b − Aβ̂||² = ____。

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2. 已知矩阵 A = [[1,2],[2,1]]（即第一行 (1,2)，第二行 (2,1)）。由于 A 是实对称矩阵，其特征值为 3 和 −1。求 A 的奇异值分解 A = UΣVᵀ，写出 U、Σ、V 的具体形式（奇异值按从大到小排列，Σ 为对角阵且对角元非负），并据此写出 A 的按秩-1 分裂表达式 A = 3u₁v₁ᵀ + 1·u₂v₂ᵀ 中各向量的坐标。

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3. 设矩阵 A = [[1,1],[1,1],[1,-1]]（3×2），观测向量 b = (1,2,1)ᵀ。考虑线性模型 Aβ ≈ b 的最小二乘问题。(1) 求 A 的完全奇异值分解 A = UΣVᵀ（写出全部奇异值及 U、V 的列）；(2) 利用该 SVD 求 β̂ = argmin‖Aβ−b‖₂；(3) 求最小残差向量的 2-范数。

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4. 设矩阵 A = [[1,1],[1,-1],[1,0]]，其列向量线性无关，观测向量 b = (3,3,3)ᵀ。用 A 的 QR 分解（Q 的列经 Gram-Schmidt 正交化并单位化）求解最小二乘问题 min ‖b − Aβ‖₂，则残差向量 b − Aβ̂ 的 2-范数等于多少？ A. 0 B. √6 C. √3 D. 2

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5. 设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，求其 Cholesky 分解 A = LLᵀ 中下三角矩阵 L 的元素。则 l₁₁、l₂₁、l₂₂ 依次为（　　） A. 2、1、√2 B. 2、1、2 C. 4、2、√3 D. 2、√2、√3

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6. 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵为对称正定对角阵 A=diag(100, 0.01)，用双精度浮点数（机器精度约 ε=10⁻¹⁶）直接求解。已知解的相对误差大致被 ε·κ₂(A) 控制（κ₂ 为谱条件数）。请估计 κ₂(A) 及解的相对误差量级。A. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹²　B. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹⁶　C. κ₂(A)=10²，相对误差约 10⁻¹⁴　D. κ₂(A)=10⁶，相对误差约 10⁻¹⁰

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7. 设对称正定矩阵 A = [[9, 3], [3, 5]]，其 Cholesky 分解为 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵。则 l₁₁ = ____，l₂₁ = ____，l₂₂ = ____。

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8. 设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，对其进行 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵且对角元取正值。则 L 的迹（主对角元之和）等于多少？ A. 3 + √2 B. 2 + √2 C. 2 + √3 D. 3 + √3

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9. 设线性方程组 10x₁+x₂=11，x₁+10x₂=12。用Jacobi迭代法（分量迭代格式 x₁^(k+1)=(11−x₂^(k))/10，x₂^(k+1)=(12−x₁^(k))/10）求解，取初始向量 x^(0)=(0,0)ᵀ，则 x^(1)=(____, ____)。

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10. 设矩阵 A = [[1,0],[1,1],[1,2]]，观测向量 b = (1,2,2)ᵀ。已知 A 的 QR 分解中 Q = [[1/√3, −1/√2],[1/√3, 0],[1/√3, 1/√2]]，R = [[√3, √3],[0, √2]]。利用该 QR 分解求解最小二乘问题 min‖b − Ax̂‖₂，求出回归系数 x̂ = (x̂₁, x̂₂)ᵀ。

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11. 设设计矩阵 A = [[1,1],[1,3],[1,5]]，观测向量 b = (2,4,6)^T。记 A 的 QR 分解为 A = QR，其中 Q 为 3×2 列正交矩阵，R 为 2×2 上三角矩阵且对角元为正。利用该 QR 分解求最小二乘解 x̂ 的第二个分量，结果为 ____。

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12. 设线性方程组 10x₁+2x₂=14，2x₁+10x₂=24，其 Jacobi 迭代格式为 x₁^(k+1)=(14−2x₂^(k))/10，x₂^(k+1)=(24−2x₁^(k))/10。取初始向量 x⁽⁰⁾=(0,0)^T，用 Jacobi 迭代法迭代一次，得 x⁽¹⁾=(____, ____)^T。

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13. 用 Gauss–Seidel 迭代法求解线性方程组 4x₁+x₂=9，x₁+3x₂=7，取初值 x₁⁽⁰⁾=x₂⁽⁰⁾=0，并按先更新 x₁、再更新 x₂ 的顺序迭代。第二次迭代所得 x₁⁽²⁾+x₂⁽²⁾=____。

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14. 矩阵 A 的奇异值分解为 A = U diag(5, 2) Vᵀ，其中 U、V 的列向量分别为正交向量。按奇异值分解的最佳低秩近似性质，A 的最佳秩 1 近似与 A 的 Frobenius 范数误差为多少？ A. 0　B. 2　C. 5　D. √29

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15. 某统计计算中需解线性方程组 Ax=b，其中 A=diag(1,1000)。按二范数计算 A 的条件数，并判断当 b 的相对扰动为 10⁻⁶ 时，解的相对误差上界是否超过 10⁻³。

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16. 设 A=Q diag(1/5, 2, 10)Qᵀ，其中 Q 为正交矩阵。在线性方程组 Ax=b 中，b 保持不变，系数矩阵受到扰动 ΔA，且 ||ΔA||₂/||A||₂=0.004。利用二范数条件数给出的扰动上界，求相对解误差 ||x̃−x||₂/||x||₂ 的保证上界；假设 κ₂(A)||ΔA||₂/||A||₂<1。

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17. 设 3×2 矩阵 A = [[2,1],[1,2],[1,-1]]，观测向量 b = (1,0,1)ᵀ（列向量）。A 的奇异值分解 A = UΣVᵀ，其中奇异值 σ₁ ≥ σ₂ > 0，V 的列向量 v₁, v₂ 为右奇异向量。记 β̂ = A⁺b 为最小二乘解。则 β̂ 在 v₂ 方向上的分量为 v₂ᵀβ̂，其值等于下列哪一项？ A. -3/√2 B. 3/√2 C. 1/√2 D. -1/√2

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18. 对线性方程组 4x₁−x₂=3，−x₁+4x₂−x₃=3，−x₂+4x₃=3，采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 x⁽⁰⁾=(0,0,0)ᵀ。完成两轮迭代后，求 x⁽²⁾。

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19. 设线性方程组 5x₁ + x₂ = 6，x₁ + 5x₂ = 6。采用 Jacobi 迭代法，迭代格式为 x₁^(k+1) = (6 − x₂^(k))/5，x₂^(k+1) = (6 − x₁^(k))/5，取初值 x₁⁽⁰⁾ = 0，x₂⁽⁰⁾ = 0。则第一次迭代结果 x₁⁽¹⁾ = ____，x₂⁽¹⁾ = ____。

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20. 某协方差矩阵 C=U diag(0.002, 1, 8)Uᵀ，其中 U 为正交矩阵。用二范数条件数评估求解 Cx=y 对右端扰动的敏感性：若 y 的相对扰动不超过 2×10⁻⁶，按条件数给出的解相对误差上界为 ____。

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21. 已知矩阵 A = [[4, 12], [12, 37]]，则对 A 作 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为对角元为正的下三角矩阵。L 中两个对角元 l₁₁、l₂₂ 的乘积 l₁₁×l₂₂ 等于？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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22. 设矩阵 A 的奇异值分解为 A = UΣVᵀ，且 Σ 的非零对角元为 6 和 2。矩阵 A 的谱范数 ||A||₂ 为多少？ A. 2　B. 4　C. 6　D. 8

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23. 设满列秩矩阵 A 的 QR 分解为 A=QR，其中 Q 的列正交归一，R=[[2,2],[0,4]]，且 Qᵀb=(7,8)ᵀ。最小二乘问题 minₓ||Ax−b||₂ 的解 x̂ 满足 R x̂=Qᵀb，因此 x̂₁=___。

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24. 求解线性方程组 5x₁−x₂+x₃=5，x₁+5x₂−x₃=9，−x₁+x₂+5x₃=3。采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 (0,0,0)。完成两轮迭代后，所得向量为哪一个？ A. (1.224，1.6512，0.51456)　B. (1.224，1.6512，0.48)　C. (1.224，1.6，0.51456)　D. (1.2，1.6512，0.51456)

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25. 对称矩阵 A = [[4, 2, 4], [2, 10, -1], [4, -1, 9]]。求 A = LU 的分解，其中 L 为对角元全为 1 的下三角矩阵；再求 A = CCᵀ 的 Cholesky 分解，其中 C 为对角元为正的下三角矩阵。

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26. 设统计计算中的协方差矩阵 C = V diag(1/8, 1, 64) Vᵀ，其中 V 为正交矩阵。(1) 求矩阵 C 在二范数意义下的条件数 κ₂(C)；(2) 在求解线性方程组 Cx = y 时，若右端项 y 受到扰动 Δy，且 ||Δy||₂/||y||₂ ≤ 10⁻⁵，给出解的相对误差 ||Δx||₂/||x||₂ 的最坏情况上界；(3) 若要求解的相对误差不超过 10⁻⁴，判断上述扰动水平是否满足要求，并求出允许的最大相对扰动 δ 使得 κ₂(C)·δ = 10⁻⁴。

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27. 设线性方程组 6x₁+x₂=7，x₁+6x₂=7。用 Jacobi 迭代法求解，迭代格式为 x₁^(k+1)=(7−x₂^(k))/6，x₂^(k+1)=(7−x₁^(k))/6。取初值 x₁⁽⁰⁾=x₂⁽⁰⁾=0，迭代两次，求 x₁⁽²⁾ 与 x₂⁽²⁾ 的值（用分数表示）。

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