大学统计计算上册《EM算法与变分推断》练习题

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本单元考点（5 个）

EM算法基本框架Q函数构造与M步EM算法的收敛性质变分推断与ELBO均值场近似方法

本单元练习题（9 题）

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1. 设隐变量 z∈{0,1}，先验 P(z=1)=π。在观测数据 x 已知时，EM 算法第 t 步 E 步算得后验概率 P(z=1|x)=0.8。已知完全数据对数似然中与参数 θ 有关的部分为 ℓ_c(θ)=z·log(1+θ)+(1−z)·log(3−θ)，其中 0<θ<1。则第 t 步的 Q 函数中 θ 的系数结构及 M 步更新 θ^(t+1) 为（　） A. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=−0.4 B. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.4 C. Q(θ)=π·log(1+θ)+(1−π)·log(3−θ)，θ^(t+1)=1−π D. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.8·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.5

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2. 设观测数据的对数似然为 ℓ(θ)，完全数据对数似然的期望为 Q(θ, θ^(t))。某同学用EM算法迭代估计含隐变量的混合模型，记 ℓ(θ^(t)) 为第 t 次迭代后的对数似然值。关于EM算法的收敛性质，下列说法正确的是：A. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 严格递增，因此必收敛到全局最大值点　B. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 单调不减，算法必收敛到似然函数的驻点，但不保证是全局最大值点　C. ℓ(θ^(t)) 可能下降，只要 Q(θ, θ^(t)) 增加即可　D. 算法收敛速度与初始值的选取完全无关

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3. 在EM算法的迭代过程中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计值。关于EM算法的基本收敛性质，下列说法正确的是：A. 观测数据的对数似然 ℓ(θ^(t)) 随迭代单调不减，即 ℓ(θ^(t+1)) ≥ ℓ(θ^(t))　B. 观测数据的对数似然每次迭代严格递增　C. 对数似然在迭代中可能下降，需人为调节步长　D. 对数似然的收敛性与初值 θ^(0) 的选取完全无关

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4. 设观测数据 x₁,…,xₙ 来自一维高斯混合模型，含隐变量 zᵢ∈{1,2} 表示第 i 个观测所属的成分。在第 t 步 E 步已算得后验责任 γᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)。下列关于 Q 函数构造与 M 步的说法正确的是：A. Q(θ|θ^(t))=∑ᵢ[γᵢln(π₁φ(xᵢ;μ₁,σ₁²))+(1-γᵢ)ln(π₂φ(xᵢ;μ₂,σ₂²))]，M 步在固定 γᵢ 下最大化 Q 求新参数　B. M 步需对隐变量 zᵢ 重新随机抽样后再求参数　C. Q 函数只含观测数据的对数似然，与后验 γᵢ 无关　D. M 步直接最大化完整数据的对数似然，无需借助 Q 函数

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5. 在EM算法中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计。关于其单调性与收敛性，下列说法正确的是：A. 每次迭代后观测数据的对数似然 L(θ^(t+1)) ≥ L(θ^(t))，但不保证收敛到全局最大值点 B. 每次迭代后对数似然严格递增，且必收敛到全局最大值点 C. 对数似然在每次迭代后可能下降，取决于初始值的选取 D. EM算法保证收敛到似然函数的唯一全局最大值点

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6. 在某单参数高斯混合模型的一次 EM 迭代中，观测到两个样本 x₁=1，x₂=3。E 步算得两样本属于目标分量的后验责任分别为 r₁=3/4，r₂=1/4（其余权重归入另一固定分量，其参数不变）。若执行 M 步对该目标分量的均值 μ 进行更新，且责任满足归一化 ∑rᵢ=1，则更新后的 μ 值为多少？ A. 1.0 B. 1.5 C. 2.0 D. 2.5

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7. 设一维高斯混合模型含两个等权重分量（混合系数各为 0.5），密度为 0.5·N(x;μ₁,1)+0.5·N(x;μ₂,1)。观测样本为 x₁=0, x₂=2，初始参数 μ₁=−1, μ₂=1。对隐变量 zᵢ∈{1,2} 执行 EM 算法的一次迭代：E 步计算每个样本属于分量 1 的后验责任 wᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)，M 步更新 μ₁′=∑ᵢwᵢxᵢ/∑ᵢwᵢ。则更新后的 μ₁′ 等于（　） A. 4/(e⁴+3) B. 2/(e⁴+1) C. 4/(e⁴+2) D. 2/(e⁴+3)

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8. 考虑两个分量的伯努利混合模型，分量1的成功概率为p₁，混合权重为π₁；分量2参数在本轮M步中固定。观测为y₁=1、y₂=0、y₃=1，当前参数下E步得到分量1的责任度r₁=0.8、r₂=0.3、r₃=0.6。若本轮同时更新π₁与p₁，哪一项正确描述了EM步骤及更新结果？ A. E步最大化完整数据对数似然，M步计算责任度；π₁=17/30，p₁=14/17 B. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=17/30，p₁=14/17 C. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=14/17，p₁=17/30 D. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化观测数据对数似然；π₁=17/30，p₁=7/10

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9. 设隐变量模型中 z∈{1,2}，观测值 x₁=2 与 x₂=4，两成分方差 σ²=1 已知，成分均值 μ₁ 待估（μ₂ 固定为 0）。EM 算法某次 E 步算得责任：γ₁=P(z₁=1|x₁)=0.75，γ₂=P(z₂=1|x₂)=0.25。Q 函数中与 μ₁ 有关的部分为 ∑ᵢ γᵢ·[−(xᵢ−μ₁)²/2]。则 M 步求得的 μ₁ 新估计值为多少？ A. 2.5 B. 2.0 C. 3.0 D. 1.5

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