大学统计计算上册《马尔可夫链基础》练习题

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本单元考点（5 个）

马尔可夫链定义与转移矩阵平稳分布与极限分布细致平衡条件不可约、周期与遍历性状态分类与常返性

本单元练习题（9 题）

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1. 设马尔可夫链的状态空间为 {1, 2}，一步转移矩阵为 P = [[0.5, 0.5], [0.6, 0.4]]。关于该链的下列说法，正确的是：A. 该链可约且周期为 2　B. 该链不可约、非周期且正常返，从而遍历　C. 该链不可约但周期为 2　D. 该链不可约但非常返

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2. 设马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移概率为：P(1,2)=1，P(2,1)=1，P(3,4)=1/2，P(3,1)=1/2，P(4,4)=1。关于各状态的分类，下列结论正确的是：A. 状态3与状态4均常返　B. 状态1是瞬过的，状态4是常返的　C. 状态1、2、4常返且状态3瞬过　D. 全部状态均为常返

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3. 某两状态马尔可夫链的转移矩阵为 P=[[3/4,1/4],[1/2,1/2]]。若初始状态任意，经过足够长时间后处于状态1的概率趋于多少？ A. 1/3　B. 1/2　C. 2/3　D. 3/4

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4. 设马尔可夫链状态空间为 {1,2}，转移矩阵 P = [[0.7, 0.3], [0.6, 0.4]]。已知分布 π = (a, 1−a)（a∈(0,1)）满足关于 P 的细致平衡条件 π₁P₁₂ = π₂P₂₁，则 a = ？ A. 1/3　B. 1/2　C. 2/3　D. 3/5

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5. 设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.5, 0.3, 0.2], [0.3, 0.4, 0.3], [0.2, 0.3, 0.5]]。若分布 π = (π₁, π₂, π₃)（各分量均大于 0）满足细致平衡条件 πᵢPᵢⱼ = πⱼPⱼᵢ（对所有状态对成立），则该分布为（　） A. π = (0.4, 0.3, 0.3) B. π = (1/3, 1/3, 1/3) C. π = (0.5, 0.3, 0.2) D. π = (0.25, 0.5, 0.25)

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6. 设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.4, 0.3, 0.3], [a, 0.3, 0.1], [0.6, 0.1, 0.3]]，其中 a 为待定常数。已知分布 π = (1/2, 1/4, 1/4)。若该链满足细致平衡条件 π(i)P(i,j) = π(j)P(j,i)（对所有状态 i, j），则 a 的值应为多少？ A. 0.6 B. 0.3 C. 0.15 D. 0.25

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7. 设随机变量序列 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，且对任意 n，条件分布 P(Xₙ₊₁=j | X₁, X₂, …, Xₙ) 仅依赖于 Xₙ 的取值。该序列满足马尔可夫性（无记忆性）的一步转移概率 P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i) 与 n 和历史状态均无关。下列哪一项是该序列成为马尔可夫链的本质特征？ A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态 A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态

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8. 设齐次马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，其一步转移矩阵为 P，其中第一行为 (0.5, 0.3, a)，第二行为 (b, 0.2, 0.6)，第三行为 (0.4, c, 0.1)。根据转移矩阵的定义，每行元素之和为 1，求 a×b×c 的值。A. 0.01　B. 0.02　C. 0.04　D. 0.05

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9. 马尔可夫链的转移概率为 pᵢⱼ，候选平稳分布为 π。下列哪一条件是细致平衡条件？ A. 对所有 i、j，πᵢpᵢⱼ = πⱼpⱼᵢ　B. 对所有 i、j，pᵢⱼ = pⱼᵢ　C. 对所有 i，πᵢ = pᵢᵢ　D. 对所有 i、j，πᵢpᵢⱼ = πᵢpⱼᵢ

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