大学统计计算上册《随机数生成与变换》练习题

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本单元考点（5 个）

线性同余发生器原理逆变换法生成随机变量Box-Muller变换生成正态分布接受-拒绝采样方法离散分布随机数生成

本单元练习题（18 题）

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1. 设 U₁, U₂ 为相互独立的均匀分布 U(0,1) 随机数。取 U₁ = e^(-2)，U₂ = 1/6。用 Box-Muller 变换：Z₁ = √(-2·ln U₁)·cos(2πU₂)，Z₂ = √(-2·ln U₁)·sin(2πU₂)，生成标准正态随机数 Z₁ 和 Z₂。求 Z₁ 和 Z₂ 的值。

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2. 设离散随机变量 X 的分布律为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5。用逆变换法生成 X 的随机数，判定规则为：若 F(k−1)＜U≤F(k)，则取 X=k（约定 F(0)=0），其中 F 为 X 的分布函数。现有三个独立均匀随机数 U₁=0.35，U₂=0.85，U₃=0.19。请依次写出对应的 X₁、X₂、X₃，并求这三个随机数的样本均值。

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3. 设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = e^(-1)，U₂ = 1/12。用 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z = √(-2·ln U₁)·cos(2π·U₂)。则由此得到的 Z 的值为 ____。

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4. 设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = 1/4，U₂ = 3/8。按 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z₁ = √(-2 ln U₁)·cos(2π U₂)，Z₂ = √(-2 ln U₁)·sin(2π U₂)。则 Z₁ = ____（用精确表达式 -√(2 ln 2) 或保留两位小数填写）。

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5. 用接受-拒绝方法从密度 f(x)=3x², x∈[0,1] 抽样，选取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布，取常数 c 使得 c·g(x)≥f(x) 对一切 x 成立。则常数 c=____，每次试验的接受概率为____（用分数表示），平均需要生成的候选均匀随机数个数为____（用分数表示）。

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6. 用接受-拒绝方法生成服从密度 f(x)=3x²（0≤x≤1）的随机数。取建议分布为 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1，取常数 c=3 使得 f(x)≤c·g(x) 对所有 x∈[0,1] 成立。设 U₁,U₂ 独立且均服从均匀分布 U(0,1)，若 U₂≤f(U₁)/(c·g(U₁)) 则接受 X=U₁。(1) 写出每次试验的接受概率；(2) 若一次试验中 U₁=0.5，U₂=0.2，判断该样本是否被接受。

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7. 用接受-拒绝方法从密度 f(x)=6x(1−x)（0≤x≤1）中抽样，建议分布取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1。(1) 求满足 f(x)≤c·g(x) 对一切 x 成立的最小常数 c；(2) 求每次提议被接受的概率；(3) 已知某次提议被接受，求该样本落在区间 [0,1/2] 内的概率。

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8. 用接受-拒绝方法从密度 f(x)=2x（0≤x≤1）中抽样，取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布。(1) 求最小的常数 c，使得 f(x)≤c·g(x) 对一切 x∈[0,1] 成立；(2) 设已生成均匀随机数 U₁=0.8 和 U₂=0.3，写出利用这两个数执行一次接受-拒绝采样的完整步骤，并判断本次抽样被接受还是被拒绝。

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9. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=1−e^(−2x)（x≥0）。(1) 用逆变换法推导：若 U~U(0,1)，则 X=−ln(1−U)/2 服从该分布；(2) 若某次模拟得到的均匀随机数为 U=0.75，求对应的 X 值（用 ln 表示）。

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10. 线性同余发生器的递推公式为 xᵢ₊₁ = (a·xᵢ + c) mod m。若取 a = 5，c = 3，m = 8，种子 x₀ = 1，则由该发生器产生的下一个均匀随机数 x₁ = ____。

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11. 设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ aX_n + c (mod m)，参数取 a=5，c=3，m=17。已知发生器输出的第二个数为 X₁=9，则由它反推出的初始种子 X₀=____（即满足递推关系的 0≤X₀<17 的唯一整数）。

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12. 设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (5X_n + 3) (mod 16)，种子 X₀ = 1。记 X_n 为第 n 次迭代后的状态。经逐次迭代可得序列，则使 X_n = X₀ 成立的最小正整数 n = ____；该发生器的周期长度为 16，由 full period 定理条件 a ≡ 1 (mod 4)、c 与 16 互素、c 为奇数可知其达到最大周期，据此该发生器输出序列在重复前可产生互不相同的均匀伪随机数个数为 ____。

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13. 设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (3X_n + 5) (mod 13)，种子 X₀ = 2，其中 X_n 表示第 n 次迭代后的状态。请依次计算 X₁、X₂、X₃、X₄、X₅，并确定该发生器从种子出发的状态序列的周期长度。

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14. 用逆变换法生成离散分布随机数：设随机变量 X 的分布律为 P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5。设 U~U(0,1)，按顺序划分区间，若 0.2<U≤0.5 则取 X=____。

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15. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=x³（0≤x≤1）。请用逆变换法证明：若 U~U(0,1)，则 X=U^(1/3) 服从该分布，并写出验证过程。

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16. 设 U₁、U₂ 相互独立且均服从 U(0,1)，本次取值为 U₁=e^(−9/2)、U₂=1/3。按 Box–Muller 变换 Z₁=√(−2 ln U₁)cos(2πU₂)、Z₂=√(−2 ln U₁)sin(2πU₂)，求生成的标准正态随机数对 (Z₁,Z₂)。

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17. 用接受-拒绝方法从密度 f(x)=4x³（0≤x≤1）中抽样，建议分布取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1，常数 c 取满足 f(x)≤c·g(x) 的最小值。则该常数 c=____，每次试验（提议）被接受的概率为____。

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18. 设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (7X_n + 4) (mod 11)，种子 X₀ = 3。则 X₁ = ____，X₂ = ____。

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