大学统计计算上册《数值优化基础》练习题

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本单元考点（5 个）

梯度下降法牛顿法与拟牛顿法线搜索与步长选择收敛性与停止准则常用优化算法对比

本单元练习题（27 题）

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1. 用梯度下降法极小化 f(x)=(x−2)²。已知从初始点 x₀=0 出发，第一步迭代得 x₁=1，第二步迭代得 x₂=3/2。由此可知所用的学习率（步长）α 的值，并按同一学习率继续迭代一次，得到的 x₃ 为多少？ A. 5/4　B. 7/4　C. 9/4　D. 11/8

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2. 设 f(x,y)=2x²+3y²+2xy，取初始点 x₀=(1,1)ᵀ。用牛顿法求极小点：写出梯度 ∇f 与 Hessian 矩阵 H，计算经一次牛顿迭代得到的 x₁；再判断第二次迭代所得 x₂ 与 x₁ 是否相同，并说明原因（提示：f 为二次函数时牛顿法一步收敛到精确极小点）。

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3. 设 f(x)=x²，初始点 x₀=2，极小点为 x*=0。用固定步长 t=1/4 的梯度下降法迭代，得 x₁=____；用牛顿法迭代一步得 x₁=____。梯度下降法迭代中满足 |x_k−x*|≤0.1 所需的最少迭代次数 k=____，而牛顿法仅需 ____ 次迭代即达同样精度，故本题中收敛更快的是____法。

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4. 设 f(x)=x²，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/4，初始点 x₀=4，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)。(1) 写出 x_k 关于 k 的表达式；(2) 以梯度范数 ‖f′(x_k)‖<0.01 作为停止准则，求所需的最小迭代次数 k。

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5. 设 f(x)=x⁴+x²，从点 x=1 出发沿下降方向 d=−1 作回溯线搜索。取初始步长 α₀=2，每次回退令 α←α/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·f′(x)d。则第一个被接受的步长 α 为（　） A. 1/2　B. 1　C. 3/4　D. 1/4

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6. 用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+4y²，学习率（步长）取 α=1/5，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)。（1）求前两步迭代点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)；（2）已知该函数 Hessian 矩阵为对角阵 diag(2,8)，请给出梯度下降法对该函数收敛时学习率 α 应满足的取值范围，并判断本题所取的 α=1/5 是否保证收敛。

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7. 设 f(x)=x²+2x+3，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/2，初始点 x₀=0，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)，其中 f′(x)=2x+2。(1) 写出前两步的迭代值 x₁ 和 x₂。(2) 写出 x_k 的通项，并说明该迭代点列是否收敛；若收敛，给出极限。(3) 说明可用怎样的停止准则判断迭代已足够接近极小点，并举一个具体准则。

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8. 设目标函数 f(x)=2(x−1)²，用梯度下降法求其极小点，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，其中 f′(x)=4(x−1)。取固定步长 α=3/8，初始点 x₀=5，已知极小点 x*=1。以误差 e_k=|x_k−1| 度量收敛，停止准则为 e_k≤0.05。(1) 写出 e_k 与 e_{k−1} 的递推关系；(2) 求使停止准则首次满足的最小迭代次数 k。

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9. 设 f(x)=x²+4x+5，其唯一极小点为 x*=−2。取初始点 x₀=1。（1）用固定步长 t=0.25 的梯度下降法迭代一步，得 x₁=____；（2）用牛顿法迭代一步，得 x₁=____；（3）一般地，梯度下降法在极小点附近的收敛速度为____收敛（填“线性”或“平方”）。

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10. 用牛顿法求函数 f(x)=x² 的极小点，取初始点 x₀=2，则迭代一次后得到的 x₁ = x₀ − f′(x₀)/f″(x₀) 为（　）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

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11. 用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=(x−1)²+4(y+2)²，学习率（步长）取 α=1/10，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。若从初始点 (x₀,y₀)=(3,0) 出发迭代两步，则所得迭代点 (x₂,y₂) 为（　） A. (2.32, −1.92) B. (2.28, −1.92) C. (2.60, −1.60) D. (2.28, −2.08)

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12. 在求解无约束优化问题时，梯度下降法（又称最速下降法）仅利用目标函数的一阶导数信息确定搜索方向，其收敛速度通常为线性收敛；而牛顿法利用目标函数的二阶导数（Hessian 矩阵）构造搜索方向，在最优解附近通常具有____收敛速度。对于凸二次函数，牛顿法理论上只需____次迭代即可到达精确最优解。

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13. 设 f(x)=x²，从 x=1 出发沿下降方向 d=-1 作回退线搜索：初始步长 t₀=8，每次迭代令 t←t/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+td) ≤ f(x)+0.9t·f'(x)d。从 t₀ 开始依次检验并减半，直到条件首次满足为止。则共需将步长减半____次，最终被接受的步长 t=____。

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14. 设目标函数 f(x₁,x₂)=x₁²+4x₂²，当前迭代点 x=(2,1)。采用回溯线搜索的梯度下降法：搜索方向取负梯度方向 d=−∇f(x)，初始步长 α₀=1，每步将步长减半（即 α←α/2），接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·∇f(x)ᵀd。（1）写出 ∇f(x) 与 f(x) 的值；（2）求回溯过程最终接受的步长 α；（3）给出新的迭代点 x⁺=x+αd。

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15. 用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²，梯度 ∇f(x,y)=(2x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(2,1)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代所得的点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)。

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16. 下列关于梯度下降法与牛顿法的比较中，说法正确的是（　） A. 梯度下降法利用二阶导数信息确定搜索方向 B. 牛顿法每步迭代需要计算并求逆 Hessian 矩阵，计算量通常比梯度下降法大 C. 牛顿法只能用于一维优化问题，梯度下降法可用于多维问题 D. 梯度下降法的收敛速度通常快于牛顿法

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17. 用梯度下降法极小化一元函数 f(x)=x³/3−x²，其导数 f′(x)=x²−2x。取初始点 x₀=3，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。则第二步迭代所得的点 x₂=____。

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18. 用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=3x²+2y²，其梯度为 ∇f(x,y)=(6x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)，学习率（步长）α=1/6，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代：x₁=____，y₂=____。

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19. 用牛顿法求 f(x,y)=x²+2y²+xy 的极小点，初始点 x₀=(1,2)ᵀ。梯度为 ∇f=(2x+y, x+4y)ᵀ，Hessian 为 H=[[2,1],[1,4]]。在 x₀ 处 ∇f(x₀)=(4,9)ᵀ，则牛顿方向 d=−H⁻¹∇f(x₀)=____，一次迭代后的迭代点 x₁=x₀+d=____。

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20. 设 f(x) = x³ − 3x + 1，当前点 x₀ = 2，下降方向 d = −1。采用回溯线搜索，取初始步长 α₀ = 3，Armijo 条件为 f(x₀ + αd) ≤ f(x₀) + cα∇f(x₀)ᵀd，其中 c = 1/3。每次将步长折半 α ← α/2，直到满足条件为止。则被接受的步长为 α = ____。

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21. 设 f(x₁,x₂)=½x₁²+2x₂²，初始点 x₀=(1,−1)ᵀ。牛顿法取方向 p₀=−[∇²f(x₀)]⁻¹∇f(x₀)，拟牛顿法取方向 p₀=−B₀∇f(x₀)，其中 B₀=I。按牛顿法、拟牛顿法的顺序，两种方法的方向分别为 ____ 和 ____。

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22. 对二次函数 f(x)=3x²−6x+5，从 x₀=0 出发，采用精确 Hessian 的牛顿法更新一次，所得 x₁ 为（　）。 A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

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23. 设目标函数 f(x)=(x−2)²，从 x₀=10 出发以固定步长 α=1/4 作梯度下降，迭代为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。以 |f′(xₖ)|≤0.6 作为停止准则。判断该迭代是否收敛；若收敛，求其极限，并求首次满足停止准则的迭代下标 k。

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24. 设 f(x,y)=3x²+2y²+4xy，取初始点 x₀=(2,−1)ᵀ，用牛顿法求极小点。已知梯度 ∇f=(6x+4y, 4x+4y)ᵀ，Hessian 矩阵 H=[[6,4],[4,4]]。经一次牛顿迭代 x₁=x₀−H⁻¹∇f(x₀) 得到的迭代点为（　）。 A. (1,0)ᵀ B. (0,0)ᵀ C. (−1,1)ᵀ D. (2,1)ᵀ

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25. 用梯度下降法极小化 f(x)=3x²，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，取固定步长 α=0.5，初始点 x₀=1。设误差 e_k=x_k−0，则 e_k=q^k·e₀（q 为常数）。仅依据迭代序列的收敛性与停止准则判断，下列结论正确的是： A. 对任意 k≥1 都有 |e_k|<|e_0|，算法必收敛 B. q=−2，|q|>1，误差逐次放大，迭代序列发散，应停止并减小步长 C. q=−1，序列在 ±1 间振荡但不发散 D. q=0.5，序列单调收敛到极小点

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26. 用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²+xy，其梯度 ∇f(x,y)=(2x+y, 2y+x)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,2)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。则第二步迭代点 (x₂,y₂) 为 A. (−3/16, 3/8) B. (−1/4, 1/2) C. (3/16, −3/8) D. (0, 1/2)

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27. 设目标函数 f(x)=(x−3)²，用梯度下降法求其极小点。迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)，取固定步长 α=1/3，初始点 x₀=0，其中 f′(x)=2(x−3)。停止准则为 |f′(x_k)|≤0.5。(1) 依次计算 x₁、x₂、x₃；(2) 判断在哪一步满足停止准则，并写出算法停止时得到的极小点近似值。

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