大学统计计算上册《自助法与重抽样》练习题

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本单元考点（5 个）

自助法基本原理自助法估计标准误与偏差自助置信区间构造Jackknife方法置换检验与重抽样

本单元练习题（27 题）

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1. 设某统计量 θ̂ 的自助法重抽样次数 B=100，得到 100 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((100))。已知排序后 θ̂*_((3)) = 4.2，θ̂*_((98)) = 9.8。请用百分位法构造置信水平为 95% 的自助置信区间，写出区间端点所用的分位数位置（即对应排序序号的选取规则）及最终区间。

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2. 设原样本为 x=(3,5,7)，样本均值为5。现进行4次自助重抽样，得到重样本 (3,5,7)、(5,5,7)、(3,3,5)、(7,7,3)。记各重样本均值为 θ̂*₁,…,θ̂*₄。用这4个自助均值估计样本均值的标准误与偏差：自助标准误 sê_boot = √91/12 ≈ ____（保留3位小数），自助偏差 biaŝ_boot = ____（用分数表示）。

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3. 某研究组想估计总体中位数 θ，从容量为 80 的样本计算出样本中位数 θ̂ = 12.6。为构造 θ 的自助置信区间，进行 B = 1000 次自助重抽样，每次重抽样后计算中位数，得到 1000 个自助估计值 θ̂*₁, θ̂*₂, …, θ̂*₁₀₀₀。将这 1000 个值从小到大排序，记为 θ̂*((1)) ≤ θ̂*((2)) ≤ … ≤ θ̂*((1000))。已知排序后第 25 个值为 10.4，第 26 个值为 10.7，第 974 个值为 15.1，第 975 个值为 15.5，其余值均不等于这些端点。请用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，要求写出所取的分位数位置及对应数值。

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4. 设样本 x₁,…,x₆ = 3,5,7,9,11,13。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测值，计算伪值 pseudoᵢ = n·x̄ − (n−1)·x̄₍ᵢ₎（其中 x̄ 为全样本均值，x̄₍ᵢ₎ 为删去第 i 个观测后的样本均值），再以伪值样本的标准误（伪值标准差除以 √n，标准差用 n−1 作分母）作为估计值。则该 Jackknife 标准误为 ____（结果化简为最简根式并给出保留三位小数的近似值）。

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5. 设样本 x₁,x₂,x₃,x₄ = 3,6,9,12，样本均值为 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的标准误：依次每次删去一个观测，计算四个删除一后样本的均值 θ̄₍ᵢ₎，再求其平均 θ̄₍·₎ = (1/4)∑θ̄₍ᵢ₎，最后代入公式 se_Jack = √((3/4)∑(θ̄₍ᵢ₎ − θ̄₍·₎)²)。则四个删除一后均值之和 ∑θ̄₍ᵢ₎ = ____，Jackknife 标准误 se_Jack = √15/____。

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6. 某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位位置分别为 0.025×B 与 0.975×B（非整数时四舍五入）。已知排序后 θ̂*_((10)) = 3.2，θ̂*_((11)) = 3.4，θ̂*_((390)) = 9.6，θ̂*_((391)) = 9.8，则该自助置信区间为（　） A. [3.2, 9.6] B. [3.4, 9.8] C. [3.2, 9.8] D. [3.4, 9.6]

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7. 设原始样本为 x=(2,4,6,8)，n=4。对统计量 θ̂=x̄²（样本均值的平方）：(1) 若以原始样本为经验分布进行自助重抽样（每次有放回抽取4个观测），利用全部可能重样本精确计算 θ̂ 的自助偏差估计 bias_B = E*(θ̂*) − θ̂，其中 θ̂* 为重样本对应统计量；(2) 同时给出样本均值 x̄ 的自助标准误估计 se_B = √(Var*(x̄*)) 的精确值，并化简为最简根式。

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8. 某随机交叉试验有3名受试者，定义每人的差值为“处理A结果−处理B结果”，观测差值依次为1、2、4。检验处理效应为零时，在零假设下对每对结果独立交换A、B标签，以差值均值为统计量，枚举全部标签交换方式。双侧精确置换检验的p值为多少？ A. 1/8　B. 1/4　C. 3/8　D. 1/2

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9. 某环境监测样本的总体中位数估计为 7.4。对样本进行 B=240 次自助重抽样，得到的中位数估计值从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)，其中 θ̂*_(12)=6.8，θ̂*_(228)=8.1。采用百分位数法，并取相应的顺序统计量构造 90% 自助置信区间。写出该置信区间。

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10. 某环境监测指标的总体中位数为 θ，样本中位数估计为 θ̂ = 18.4 mg/L。进行自助重抽样后，误差 θ̂* − θ̂ 的 5% 与 95% 分位数分别为 −2.7 mg/L 和 4.1 mg/L。采用基本自助法构造 θ 的 90% 置信区间，写出区间端点。

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11. 关于自助法（Bootstrap）重抽样的基本做法，下列说法正确的是（　） A. 从总体中重新抽取多个独立样本，每次样本量等于原样本量 B. 从原始样本中有放回地随机抽取观测，构造与原样本同大小的重抽样样本 C. 将原始样本随机划分为若干子样本，分别计算统计量 D. 对原始样本的每个观测值乘以一个随机扰动项，构造新样本

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12. 自助法（Bootstrap）对经验分布进行重抽样时，最关键的操作特征是：从容量为 n 的原始样本中____地抽取 n 个观测值，构成一个自助样本；若重复 B 次，标准误的估计直接取 B 个自助统计量的样本标准差。

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13. 设样本 x₁,…,x₅ = 2,4,6,8,10。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测，计算其余 n−1 个观测的均值 x̄₍ᵢ₎，再由 Jackknife 公式 SE_JK = √[ ((n−1)/n)·∑(x̄₍ᵢ₎−x̄₍·₎)² ] 求值。该 Jackknife 标准误等于（　） A. √2 ≈ 1.414 B. √10/5 ≈ 0.632 C. 2√2 ≈ 2.828 D. √5/2 ≈ 1.118

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14. 某统计量 θ̂ 的 200 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((200))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上端点分别取第 ⌈0.025×200⌉=5 个与第 ⌈0.975×200⌉=195 个次序统计量。已知 θ̂*_((5)) = 2.8，θ̂*_((195)) = 4.6。该自助置信区间为（　） A. (2.8, 4.6) B. (2.8, 4.0) C. (3.0, 4.6) D. (2.5, 4.9)

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15. 设样本统计量 θ̂=5.00，基于 B=1000 次自助重抽样得到的自助估计均值为 5.12，自助估计的样本方差为 0.09。按自助法，偏差的估计为自助估计均值与 θ̂ 之差，标准误的估计为自助估计方差的平方根。则偏差估计为 ____，标准误估计为 ____。

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16. 某研究者欲检验两组观测值是否来自同一分布，将两组样本合并后随机重新分成两组各 n₁ 与 n₂ 个值，并计算两组均值之差作为统计量，重复此过程多次得到该统计量的经验分布。此检验方法属于下列哪一类？A. 参数 t 检验 B. 置换检验（置换重抽样）C. 正态性检验 D. 卡方拟合优度检验

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17. 某统计量 θ̂ 的 B=500 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((500))。已知排序后第 13 个值为 3.8，第 488 个值为 9.2。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，应取哪两个次序统计量作为区间的上下端点？写出该置信区间。

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18. 为估计某总体均值 θ，从样本计算出点估计 θ̂ = 5.2。进行 B = 1000 次自助重抽样，得到 1000 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。已知排序后的结果中 θ̂*_((24)) = 3.06，θ̂*_((25)) = 3.14，θ̂*_((26)) = 3.21，θ̂*_((974)) = 7.32，θ̂*_((975)) = 7.48，θ̂*_((976)) = 7.55。按百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位点对应的次序统计量编号分别为 ⌈0.025B⌉ 和 ⌈0.975B⌉（即第 ⌈0.025×1000⌉ 个与第 ⌈0.975×1000⌉ 个次序统计量）。请写出该 95% 自助置信区间。

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19. 设某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ̂ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上分位点分别取第 ⌈αB/2⌉ 与第 ⌈(1−α/2)B⌉ 个次序统计量。已知 θ̂*_((10)) = 8.2，θ̂*_((390)) = 11.6，θ̂*_((20)) = 9.1，θ̂*_((380)) = 11.2。据此得到的 95% 自助置信区间为（　　） A. (8.2, 11.6) B. (9.1, 11.2) C. (8.2, 11.2) D. (9.1, 11.6)

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20. 设样本 x₁,…,x₆ = 1,3,5,7,9,11，样本均值为统计量 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法：每次删去一个观测，计算 n=6 个删一估计量 θ₍ᵢ₎，再由伪值 θ̃ᵢ = n·θ̂ − (n−1)·θ₍ᵢ₎ 得到 Jackknife 标准误 se_Jack = √(∑(θ̃ᵢ−θ̄̃)²/(n(n−1)))，其中 θ̄̃ 为伪值的均值。则 se_Jack = ____（用最简根式表示）。

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21. 自助法（Bootstrap）的核心思想是用下列哪个分布来近似未知的总体分布，从而估计统计量的抽样分布？　A. 正态分布　B. 原始样本对应的经验分布　C. 均匀分布　D. 二项分布

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22. 某统计量在原样本上的估计值为 3，4 次自助重抽样得到的统计量估计值依次为 2、2、6、6。以这 4 个估计值的均值减去原样本估计值定义偏差估计，并以这 4 个估计值的样本标准差估计标准误，则（偏差估计，标准误估计）= ____。

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23. 某统计量 θ̂ 的自助重抽样估计值共 B=240 个，按从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，并规定经验分位数 Q(p)=θ̂*_(⌈240p⌉)。已知 θ̂*_(6)=2.14、θ̂*_(234)=3.87，则该置信区间为____。

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24. 设统计量 θ̂ 的自助重抽样次数 B=1000，将 1000 个自助估计值从小到大排序为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。若采用百分位法构造 θ 的 90% 置信区间，取左尾概率为 0.05、右尾概率为 0.05，则区间下限为 θ̂*_((___))（只需填写排序编号即可）。

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25. 设原始样本为 x₁=3, x₂=6（n=2）。对该样本进行有放回重抽样，得到三个自助样本（各容量为2）：{3,3}、{3,6}、{6,6}，对应的样本均值依次记为 θ̄₁*、θ̄₂*、θ̄₃*。请依据自助法基本原理：（1）写出三个自助样本均值；（2）以这三个自助均值的算术平均值作为统计量的自助点估计；（3）以重抽样次数 B=3 为分母，计算这三个自助均值的标准差，作为原样本均值的标准误的自助估计（结果保留三位小数）。

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26. 对某统计量 θ 进行自助法评估，已知原样本上的估计值为 8.0。现独立进行 5 次自助重抽样，得到的统计量估计值依次为 7.0、8.5、9.0、7.5、8.0。以这 5 个自助估计值的均值减去原样本估计值作为偏差估计，以这 5 个自助估计值的样本标准差作为标准误估计，用样本标准差公式（分母为 n-1）计算。求偏差估计与标准误估计（结果保留两位小数）。

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27. 某统计量在原始样本上的估计值为 θ̂=10。现独立进行 4 次自助重抽样，得到统计量的自助估计值依次为 8、10、12、10。规定：偏差的自助估计 = 自助估计值的算术平均 − θ̂；标准误的自助估计 = 4 个自助估计值的样本标准差（除以 n−1，即 3）。据此，偏差估计与标准误估计分别为多少？ A. 偏差为 0，标准误为 √(8/3)≈1.633 B. 偏差为 0，标准误为 √2≈1.414 C. 偏差为 2，标准误为 √(8/3)≈1.633 D. 偏差为 0，标准误为 2√2≈2.828

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