大学统计计算上册《蒙特卡洛积分》练习题

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本单元考点（5 个）

蒙特卡洛积分基本思想蒙特卡洛估计的方差与收敛速度经验均值与标准误计算对偶变量法缩减方差控制变量法原理

本单元练习题（27 题）

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1. 用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx，独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本，计算得样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。则该估计的标准误为 ____（保留三位小数）。

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2. 某学生用蒙特卡洛法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。他抽取均匀分布样本 U₁=0.2, U₂=0.4, U₃=0.6, U₄=0.8，以 I 的估计量为 Î=(1/4)∑ᵢ e^{Uᵢ}。已知 e^0.2≈1.221，e^0.4≈1.492，e^0.6≈1.822，e^0.8≈2.226。若以样本标准差除以 √n 作为 Î 的标准误估计，则该标准误的值最接近多少？ A. 0.065 B. 0.217 C. 0.433 D. 0.867

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3. 用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx。独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₁₀₀，计算 e^(xᵢ) 的样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。(1) 写出所用的蒙特卡洛估计量并说明它是 I 的无偏估计；(2) 计算该估计的标准误；(3) 已知 I 的精确值为 e−1≈1.7183，判断本次估计的绝对误差是否小于一个标准误，并计算该误差与标准误之比（保留三位小数）。

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4. 设待估积分为 I=∫₀¹ eˣdx=e−1。用蒙特卡洛方法，抽取 X₁,X₂,X₃ 服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.4、0.6。取 Y=1+X 作为控制变量（E[Y]=3/2），已知控制变量系数取 c=1.5。控制变量估计量为 Î=样本均值(eˣᵢ)+c×(E[Y]−样本均值(Yᵢ))。请：(1) 简述控制变量法为什么能降低估计方差（一句话说明其原理）；(2) 代入数据求出 I 的控制变量估计值（保留4位小数）。

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5. 用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ √x dx。独立抽取 5 个均匀分布样本 xᵢ=0.04, 0.16, 0.36, 0.64, 1.00，计算函数值 gᵢ=√xᵢ 并以其经验均值 Î 作为 I 的估计。请补全：样本标准差 S=√(∑(gᵢ-Î)²/(n-1))，则 Î=____，该估计的标准误 S/√n=____（第二空用形如 a√b 的最简形式表示）。

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6. 用样本均值法估计 I=∫₀¹ x³ dx。取 U∼(0,1) 均匀分布，普通估计量每用一个随机数得一个样本 U³；对偶变量法改用 (U³+(1−U)³)/2 作为一对样本，即每两个均匀随机数产生一个估计样本。设两种方法各使用 N 个均匀随机数，普通法估计量方差为 Var₁，对偶法估计量方差为 Var₂，则 Var₁/Var₂ = ____。（用最简分数表示）

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7. 用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一为朴素蒙特卡洛，估计量为 f(U)=e^U，U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=(e^U+e^(1-U))/2。下列说法正确的是（　） A. Var(T) > Var(f(U))，对偶变量法增大了方差 B. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 正相关，取平均可缩减方差 C. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 负相关，取平均可缩减方差 D. 两种估计量的方差必定相等

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8. 用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。方法一为朴素蒙特卡洛：取 U∼U[0,1]，估计量为 X=e^U；方法二采用对偶变量法：取样本对 (e^U, e^(1−U))，估计量为 T=(e^U+e^(1−U))/2。已知 e≈2.71828，e²≈7.38906。(1) 计算 Var(X)；(2) 计算 Cov(e^U, e^(1−U))；(3) 计算 Var(T)；(4) 求对偶变量法相比朴素蒙特卡洛的方差缩减百分比（保留三位小数）。

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9. 用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ √x dx。设 U~Uniform(0,1)，取单样本估计量 X̂=√U。则 E(X̂)=____，Var(X̂)=____（保留4位小数）。若用 n 个独立样本的平均值作为估计量，由大数定律，估计量依概率收敛于 I，其标准误按数量级随 n 增大以 O(____) 的速度减小。

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10. 用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一直接抽样：估计量为 X=e^U，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二采用对偶变量法：生成 U 后同时计算 Y₁=e^U 与 Y₂=e^(1−U)，取估计量 T=(Y₁+Y₂)/2。已知 Var(e^U)=(e²−1)/2−(e−1)²，Cov(Y₁,Y₂)=e−(e−1)²，且 Var(T)=[Var(e^U)+Cov(Y₁,Y₂)]/2。则对偶估计量 T 的方差 Var(T)=____（保留 4 位小数），方法二相对于方法一的方差缩减倍数 Var(e^U)/Var(T) 约为____（保留整数）。

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11. 用蒙特卡洛积分估计 I=∫₀¹ (x+1)dx。若采用重要性抽样：从密度为 g(x)=2x（0<x<1，否则为0）的分布中抽取相互独立的随机数 X₁,…,Xₙ，则基于这组样本的蒙特卡洛估计量应为（　　） A. Î=(1/n)∑ᵢ Xᵢ B. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/(2Xᵢ) C. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)·2Xᵢ D. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/Xᵢ

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12. 用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ x² dx。（1）采用样本均值法：取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上的独立均匀随机数，用 (1/n)∑xᵢ² 估计 I，求单次估计量 x²（x∼U(0,1)）的方差，并求使估计标准误不超过 0.001 所需的最小样本量 n；（2）改用对偶变量法：以 (Uᵢ²+(1-Uᵢ)²)/2 作为基本估计量，求其方差，并计算普通样本均值法方差与之的比值。

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13. 用蒙特卡洛方法近似积分 I = ∫₀¹ x² dx。设 U₁,…,Uₙ 为来自 [0,1] 上均匀分布的独立随机样本，估计量记为 Îₙ = (1/n)∑ᵢ Uᵢ²。(1) 写出 E[Îₙ] 并验证其无偏；(2) 计算 Var(Îₙ)；(3) 指出 Îₙ 的均方根误差随 n 增大的收敛速度量级。

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14. 用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。设 X₁,…,Xₙ 为来自均匀分布 U(0,1) 的独立样本，取估计量 Îₙ=(1/n)∑Xᵢ²。当 n 增大时，关于 Îₙ 的说法正确的是：A. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/√n 的速度减小　B. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/n 的速度减小　C. Îₙ 不收敛，但方差随 n 线性减小到零　D. Îₙ 收敛于 I 的精确值，方差恒为零

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15. 用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx，独立抽取 n=400 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₄₀₀，计算得 g(xᵢ)=1/(1+xᵢ) 的样本均值 X̄=0.694，样本标准差 S=0.200。若以 X̄ 作为 I 的估计，则该估计的标准误为（　） A. 0.200　B. 0.010　C. 0.005　D. 0.050

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16. 用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ e^x dx 时，取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上独立均匀随机数，按样本均值法应使用的估计量为 Î=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ g(Uᵢ)，则其中被积函数对应的 g(x)=____

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17. 用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。方法一为朴素蒙特卡洛估计量 f(U)，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=[f(U)+f(1−U)]/2。设单样本方差之比为 Var(T)/Var(f(U))，则方差缩减的比例（即减少的方差占原方差的分数）为： A. 1/16 B. 1/12 C. 15/16 D. 3/4

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18. 用蒙特卡洛法近似积分 I=∫₀¹ eˣ dx。记 U~Uniform(0,1)。(1) 取估计量 X̂=e^U，求 Var(X̂)（保留4位小数）；(2) 改用对偶变量估计量 Ŷ=(e^U+e^(1−U))/2，求 Var(Ŷ)（保留4位小数）；(3) 求方差缩减倍数 Var(X̂)/Var(Ŷ)（保留1位小数），并说明当固定总计算量为 n 次函数求值时两种估计量的收敛阶。

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19. 用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx。设 U~Uniform(0,1)，估计量为 X̂=1/(1+U)。(1) 求 Var(X̂)，结果保留 4 位小数；(2) 若用独立同分布的 10000 个样本取平均作为估计量，求该估计量的方差（结果用科学计数法表示）。

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20. 用控制变量法估计积分 I=∫₀¹ eˣdx。取 X 服从 U(0,1)，以 h(X)=e^X 为基本估计量，并选已知期望 E[X]=1/2 的随机变量 X 本身作控制变量，即用 Y=e^X+c(X−1/2) 估计。现有三个样本 X₁=0.1、X₂=0.3、X₃=0.8（对应 e^0.1≈1.10517，e^0.3≈1.34986，e^0.8≈2.22554）。先用样本协方差与样本方差估计最优系数 c，再求控制变量估计量的值（保留三位小数）。 A. 1.560　B. 1.690　C. 1.723　D. 1.718

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21. 用控制变量法估计 I=∫₀¹ x²dx。抽取 X₁,X₂,X₃ 独立服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.5、0.9。取控制变量 W=X，已知 E[W]=1/2，且 Cov(x²,X)>0。已知原始蒙特卡洛估计高估了真值，则控制变量修正估计为 h̄−(W̄−E[W])=____（用分数表示）。

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22. 设 U₁,…,Uₙ 是区间 [a,b] 上相互独立的均匀随机变量。用蒙特卡洛积分估计 I=∫ₐᵇ f(x)dx 时，基于样本均值的估计量为 ____。

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23. 设 X₁,…,Xₙ 为独立同分布随机变量，均值为 I、方差为 σ² 的蒙特卡洛积分样本，估计量为 Îₙ=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿXᵢ。其方差与标准误差随样本量 n 的变化关系正确的是哪一项？ A. Var(Îₙ)=σ²/n，标准误差按 n^(-1/2) 的速度衰减　B. Var(Îₙ)=σ²/√n，标准误差按 n^(-1/4) 的速度衰减　C. Var(Îₙ)=σ²/n²，标准误差按 n^(-1) 的速度衰减　D. Var(Îₙ)=σ²，标准误差不随 n 变化

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24. 用蒙特卡洛样本均值法估计定积分 I=∫₀¹ √x dx。取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上独立同均匀分布的随机数，写出相应的估计量 Î，并计算当 n=4、U₁=0.04, U₂=0.25, U₃=0.64, U₄=1 时的估计值。

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25. 为估计 I=∫₀¹ x³dx，直接抽样使用 2m 个相互独立的 Uᵢ∼U[0,1]，估计量为 D=(1/(2m))∑ᵢ₌₁²ᵐ Uᵢ³；对偶变量法使用 m 个相互独立的 Uᵢ∼U[0,1]，估计量为 A=(1/m)∑ᵢ₌₁ᵐ[Uᵢ³+(1−Uᵢ)³]/2。两种方法的函数值计算次数相同。求 Var(D)/Var(A)，并给出对偶变量法的方差缩减倍数。

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26. 设 I=∫₀¹ x³dx，U₁,…,Uₙ相互独立且服从[0,1]上的均匀分布。朴素估计量为 Îₙ=n⁻¹∑ᵢUᵢ³；对偶变量估计量为 Ĵₙ=n⁻¹∑ᵢ[Uᵢ³+(1−Uᵢ)³]/2。比较相同 n 下两个估计量的方差，方差缩减比例 1−Var(Ĵₙ)/Var(Îₙ)=____。

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27. 用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ eˣ dx。设 U~Uniform(0,1)，单样本估计量 X̂=e^U，Var(X̂)≈0.2421。若用 n 个独立样本的平均值作为估计量，要使其标准误差不超过 0.01，样本量 n 至少应为多少？ A. 243 B. 2430 C. 2421 D. 24210

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