大学统计计算上册《统计计算案例实践》练习题

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本单元考点（5 个）

统计计算问题建模与算法选择数值结果稳定性分析计算效率与算法复杂度评估模拟实验设计与结果解释案例中模型估计与推断实现

本单元练习题（27 题）

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1. 某班同学用蒙特卡洛模拟估计抛掷一枚均匀硬币正面朝上的概率：编程重复模拟 10000 次抛掷，统计正面朝上的次数 m，用 m/10000 作为概率估计值。下列关于该模拟实验的说法正确的是（　　） A. 模拟次数越少，估计值越接近真实概率 0.5 B. 该方法利用频率随试验次数增大而稳定于概率的原理 C. 只要模拟一次抛掷即可精确得到概率 0.5 D. 模拟结果与真实概率一定完全相等

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2. 某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，最合适的建模与算法选择是：A. 直接用逆变换法，先解析求出分布函数再抽样　B. 采用自适应 Metropolis-Hastings 的 MCMC 方法，仅依赖密度比值采样　C. 用简单随机抽样从均匀分布独立生成样本　D. 用解析积分求出矩估计后不再抽样

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3. 用两种算法在双精度浮点环境下计算同一组数据 x₁=100000000.1，x₂=100000000.2，x₃=100000000.3 的样本方差：算法甲先求均值再求各偏差平方和；算法乙采用平移变换，先减去首个数据得 yᵢ=xᵢ−x₁，再对 yᵢ 计算样本方差。已知双精度浮点数在该量级附近的表示间隔（机器精度对应的最小可分辨差）约为 1.49×10⁻⁸，且减去首个数据后的平移运算不引入舍入误差。关于两算法所得方差结果的稳定性，下列判断正确的是： A. 甲、乙结果完全相同，因为数学上两公式恒等 B. 甲的偏差 xᵢ−x̄ 在浮点减法中发生严重抵消，结果可能明显失真；乙将运算转移到小数量级，结果稳定可靠 C. 乙更不稳定，因为平移改变了数据的统计性质 D. 两者稳定性无法比较，取决于编程语言

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4. 某统计实验室用蒙特卡洛模拟估计圆周率 π：在边长为 2 的正方形内随机撒 20000 个点，正方形内切单位圆的半径为 1，圆心与正方形中心重合。已知模拟结果中落入圆内的点数为 15712。请按例题方法，用落在圆内的点数占总点数的比例乘以正方形与圆的面积之比关系，计算 π 的模拟估计值（保留三位小数），并简要说明该估计值与真实值存在差异的原因。

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5. 某统计计算任务需要处理 n=100000 个样本。算法甲采用逐对比较策略，基本操作执行次数约为 n²/2；算法乙采用分块策略，基本操作执行次数约为 3n·log₂n。已知计算机每秒可执行 10⁸ 次基本操作。请估算：两算法所需运行时间各为多少秒（结果保留两位小数，取 log₂100000≈16.6），并指出哪种算法效率更高。

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6. 考虑三个数据：x₁=10⁷, x₂=10⁷+1, x₃=10⁷+2。在7位有效十进制浮点环境下，三数舍入后无法区分，用离差平方和公式计算所得样本方差为____；而其实际真值（按样本方差、除以n-1计算）为1。此现象说明当数据均值远大于波动幅度时，该算法的数值结果不稳定。

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7. 在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 f(x)=√(x+1)−√(x) 在 x=100000000（即10^8）处的值。算法甲直接按定义计算两根号之差；算法乙先有理化，改用 f(x)=1/(√(x+1)+√(x)) 计算。请回答：(1) 算法甲中两个被开方数仅相差1，各自平方根约为10000.00005与10000，直接相减大约损失多少位有效数字？(2) 用算法乙计算 f(100000000) 的稳定近似值（保留8位有效数字）。

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8. 某统计计算任务需对 n=2048 个样本进行处理，可选两种算法：算法甲的基本操作执行次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作执行次数为 g(n)=4n·log₂n。经计算，log₂2048=11。则在 n=2048 时，算法乙比算法甲少执行的基本操作次数为____次。

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9. 某传感器记录的读数都集中在一个很大的基准值附近，彼此差异很小。为计算这些读数的样本方差，算法甲先分别求读数平方的平均值与读数平均值的平方，再求两者之差；算法乙先减去读数平均值，再由偏差计算方差。关于数值结果稳定性，哪项判断最恰当？ A. 算法甲更稳定，因为平方运算能减小舍入误差　B. 算法乙通常更稳定，因为避免了两个大而接近的量相减　C. 两种算法稳定性必然相同，因为输入数据相同　D. 算法甲更稳定，因为计算中没有使用偏差

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10. 某统计计算任务需处理 n=4096 个样本。算法甲的基本操作次数为 f(n)=3n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=100n·log₂n。运行时基本操作次数较小的算法更高效，则更高效的算法是____（填“甲”或“乙”）。

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11. 某服务系统的响应时间服从均值为4秒的指数分布。用蒙特卡洛方法模拟1000次响应时间：每次先生成独立的 U∼U(0,1)，再取 T=−4ln(U)。模拟结果中有218次响应时间不超过1秒。用模拟频率估计响应时间不超过1秒的概率，并说明该估计值的含义。

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12. 在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 g(n)=n²·(1 − cos(1/n))，当 n=10⁸ 时。算法甲先算 cos(1/n) 再与 1 相减，最后乘 n²；算法乙先用恒等式 1 − cos(t) = 2·sin²(t/2)，再乘 n²。关于两算法所得结果的稳定性，以下叙述正确的是： A. 甲所得结果有效数字损失严重，乙所得结果稳定可靠 B. 甲与乙所得结果完全相同，均稳定可靠 C. 乙所得结果有效数字损失严重，甲所得结果稳定可靠 D. 甲与乙所得结果均严重失真，无法使用

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13. 某团队用简单线性回归评估设备运行时长x对能耗y的影响，模型为yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ。假设x固定，误差独立且均服从N(0,σ²)。样本量n=8，Sₓₓ=∑(xᵢ−x̄)²=14，Sₓᵧ=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=21，拟合残差平方和SSE=24。对H₀:β₁=0与H₁:β₁≠0作双侧检验，显著性水平0.05；已知t₀.₉₇₅,₆=2.447。检验统计量为____，据此应____H₀。

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14. 某调查站研究住房面积x（十平方米）与月租金y（百元）的关系，记录5组数据：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)。假设一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε 满足经典假定，用最小二乘法拟合，则回归系数 β₁ 的估计值为：A. 0.8　B. 0.9　C. 1.1　D. 1.2

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15. 在双精度浮点环境（约16位有效十进制数字，运算按舍入到16位有效数字处理）下求解方程 x² − 2×10⁸ x + 1 = 0 的较小根（精确值约为 5×10⁻⁹）。算法甲按求根公式先计算判别式的平方根 D=√(b²−4ac)，再用 x=(b−D)/(2a) 求较小根；算法乙先计算同一个 D，再用等价公式 x=2c/(b+D) 求较小根。请分别写出两种算法在该浮点环境下所得的数值结果，并指出哪个结果可靠、说明另一算法失效的原因。

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16. 某统计计算任务中，模型为 y_t = θ + ε_t，ε_t = φ ε_{t-1} + η_t，η_t ~ N(0, σ²)，t=1,...,T，T=5000，|φ|<1，φ 未知。若直接构造 T×T 协方差矩阵 Σ 并求逆，计算与存储代价为 O(T³)。为高效计算 θ 的广义最小二乘估计，下列建模与算法选择中最合理的是： A. 先忽略相关性用 OLS 估计 θ，再将标准误乘以 T B. 先用 OLS 残差估计 φ，再对数据做 AR(1) 白化变换（首项乘 √(1-φ²)），对变换后数据做 OLS C. 对稠密 Σ 做 Cholesky 分解，复杂度 O(T³)，精度最高故必选 D. 用拒绝采样从后验 p(θ|y) 抽样，样本均值即为 GLS 估计

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17. 某物流公司研究包裹分拣批次数 x（批）与单日加班时长 y（小时）的关系，记录5组数据：(x,y) 分别为 (1,3)、(2,5)、(3,6)、(4,8)、(5,8)。假设一元线性回归模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，误差独立且服从 N(0,σ²)。请用最小二乘法完成以下计算：(1) 求回归系数的估计值 β̂₀ 与 β̂₁；(2) 求残差平方和 SSE 与误差方差估计 σ̂²=SSE/(n-2)；(3) 检验 H₀: β₁=0 对 H₁: β₁≠0，计算 t 统计量（已知 t=β̂₁/√(σ̂²/∑(xᵢ-x̄)²)），取显著性水平 0.05，df=3 时临界值 t₀.₀₂₅=3.182，给出检验结论。

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18. 设随机变量 T 服从参数为 1 的指数分布。某同学设计如下模拟实验：独立生成 n=5000 个均匀随机数 U₁,…,U₅₀₀₀∼U(0,1)，令 Tᵢ=−ln(Uᵢ)，统计满足 Tᵢ>1 的个数 m，并用 m/n 作为概率 P(T>1) 的估计值。若模拟结果中 m=1839，则该模拟给出的估计值为 ____（保留4位小数）；按指数分布理论，该估计所逼近的真实概率为 e^−1 ≈ ____（保留4位小数）。

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19. 某算法对一个含 n 个样本的数据集排序，其时间复杂度为 O(n·log n)；另一算法对同一数据集做简单遍历求和，时间复杂度为 O(n)。当 n 足够大时，遍历求和算法的运行效率____于排序算法（填“高”或“低”），理由是 O(n) 的增长阶____（填“低于”或“高于”）O(n·log n)。

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20. 某统计计算任务有两种可选算法：算法甲的基本操作次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=n·log₂n。若在 n=1024 个数据点上运行，则算法甲与算法乙的基本操作次数之比为 ____（结果用小数表示），由此可知计算效率更高的是算法 ____。

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21. 某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，下列算法选择中最合适的是： A. 直接逆变换抽样，因归一化常数未知仍可逐点归一化 B. 网格法枚举，维度高时网格点数随维数线性增长 C. 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC），构造平稳分布为 p(θ|x) 的马尔可夫链 D. 仅用牛顿-拉夫森法求众数，无需抽样即可得全部后验矩

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22. 某监测系统有12台传感器，每台在一个监测日内独立地以0.08的概率报警。程序按此机制模拟10000个监测日，记录到9298天至少有一台报警。用模拟频率估计一个监测日内所有传感器均不报警的概率，估计值为____。

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23. 某实验室研究传感器校准值x与测量偏差y的关系，记录数据为(x,y)：(0,1)、(1,6)、(2,8)、(3,12)、(4,13)。假设误差独立且服从均值为0、方差未知的正态分布，拟合含截距的一元线性回归模型。请计算斜率的最小二乘估计及检验H₀：斜率为0的t统计量，并在双侧显著性水平0.05下给出检验结论。

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24. 某统计计算课程实验中，学生需要对 n=8192 个观测值执行同一统计任务。算法甲采用朴素双重循环策略，基本操作总次数为 2n²；算法乙采用分块优化策略，基本操作总次数为 100n·log₂n（log₂8192=13）。请分别计算两种算法在 n=8192 时的基本操作总次数，并求算法乙相对于算法甲的加速比（即甲、乙操作次数之比），结果保留一位小数。

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25. 设随机变量 X ~ 均匀分布 U(0,1)，用蒙特卡洛方法估计 E[e^X]。具体方案：生成 n = 10000 个独立同分布的均匀随机数 x₁, x₂, ..., x₁₀₀₀₀，计算样本均值 θ̂ = (1/10000)∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ)，以此作为 E[e^X] 的估计值。已知模拟结果得到 ∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ) = 17183。试求 θ̂ 的数值，并说明该估计量是否为无偏估计。

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26. 某研究以施肥量 x 预测作物产量 y，线性回归软件给出斜率估计值为 0.84、标准误为 0.21。样本量较大，构造斜率的近似 95% 置信区间时取临界值 2。以下哪项正确？ A. (0.42, 1.26)　B. (0.63, 1.05)　C. (0.21, 1.47)　D. (−0.84, 0.84)

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27. 某机构需用 n=800000 条记录拟合线性模型 y=Xβ+ε，目标是求最小二乘估计；X 极稀疏，且只能通过程序计算 Xv 与 Xᵀu，不能存储稠密矩阵，要求高精度求解。候选方案为：A. 显式构造 XᵀX 后做 Cholesky 分解；B. 将 X 转为稠密矩阵后做 QR 分解；C. 使用 LSQR 迭代；D. 使用固定步长梯度下降。最适合的方案是___。

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