大学统计计算上册《MCMC方法》练习题

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本单元考点（5 个）

Metropolis-Hastings算法流程Gibbs采样算法提议分布选择与调参收敛性诊断方法MCMC样本误差估计

本单元练习题（27 题）

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1. 对标准正态目标分布 N(0,1) 使用随机游走 Metropolis-Hastings 采样，提议分布为 N(0, σ²)。已知此时平均接受率的闭式公式为 α(σ)=2Φ(−σ/2)，其中 Φ 为标准正态分布函数。理论分析表明 α 接近 0.44 时采样效率最高。设 Φ(−0.25)=0.401，Φ(−0.5)=0.309，Φ(−0.75)=0.227，Φ(−1.0)=0.159。若在 σ=0.5、σ=1.0、σ=1.5、σ=2.0 四个候选中选一个使 α(σ) 最接近 0.44，应选哪个？ A. σ=0.5 B. σ=1.0 C. σ=1.5 D. σ=2.0

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2. 某学生用随机游走 Metropolis-Hastings 算法采样目标密度 p(x) ∝ e^(−|x|)（x∈R），提议分布为对称的均匀分布 q(x′|x) = 1/2（当 |x′−x|≤1 时，否则为0）。已知当前状态 x=0.5，算法产生的新候选点为 x′=1.3。由于提议分布对称，接受概率为 α = min{1, p(x′)/p(x)}。请计算该候选点被接受的概率，α = ____。（结果用 e 的幂表示，保留三位小数）

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3. 在 Metropolis-Hastings 采样中，若目标分布集中在区间 [5, 6]，而使用随机游走提议分布 q(x'|x)=N(x, σ²)，则 σ 取 0.01 或 100 时采样效率都很低。为使接受率保持在合理范围（约 0.3~0.5），应将 σ 调整为与目标分布的____量级相当。当 σ 过小时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致链移动缓慢；当 σ 过大时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致大量提议被拒绝。

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4. 设用 Gelman-Rubin 方法诊断两条独立 MCMC 链的收敛性，每条链长度 n=5。已知两条链的样本均值分别为 x̄₁=10，x̄₂=12，样本方差分别为 s₁²=4，s₂²=4。请计算链间方差 B、链内平均方差 W、合并方差估计 Var⁺ = ((n−1)/n)W + B/n，并求潜在尺度缩减因子 R̂ = √(Var⁺/W)，据此判断链是否已收敛（通常以 R̂<1.1 为收敛标准）。

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5. 设目标密度为 p(x) ∝ x·e^(−x)（x>0），采用独立提议分布 q(x′|x) = e^(−x′)（x′>0）的 Metropolis-Hastings 算法。链的当前状态为 x=3。(1) 写出该算法的接受概率 α(x, x′) 的一般表达式；(2) 若本步提议产生的候选点为 x′=1，计算接受概率的具体数值；(3) 若候选点为 x′=4，计算接受概率的具体数值，并说明该候选点是否被接受。

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6. 在连续状态空间上采用对称随机游走提议：给定当前状态 x，令候选状态 Y 在区间 [x−h,x+h] 上均匀分布。为控制提议步长，要求每次提议满足 |Y−x|≤750 米的概率恰为 3/5。已知 h>750 米，求提议半宽 h，以千米为单位。

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7. 在 Metropolis-Hastings 算法中，当前状态 x=1，目标分布为 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x∈R），提议分布为 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。由提议分布产生候选点 x′=2。已知接受概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]}，则本次接受概率 α(1, 2) 的值精确为下列哪一项？ A. e^(−3/2) B. e^(−2) C. e^(−3) D. 1

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8. 用随机游走 Metropolis-Hastings 采样目标密度 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x>0），提议分布为对称正态 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。若当前状态 x=1，提议 x′=3，则该提议被接受的概率为（　　） A. e^(−4) B. e^(−2) C. e^(−1) D. 1

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9. 用 Metropolis-Hastings 算法抽取某后验分布的 200 个样本，按顺序等分为前后两批，每批 100 个。已算得前一批样本均值为 2.8，后一批样本均值为 3.2。采用批量均值法（两批情形）估计样本均值的 Monte Carlo 标准误，其估计值为多少？ A. 0.20　B. 0.28　C. 0.40　D. 0.04

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10. 某研究小组用Metropolis-Hastings算法从目标分布中抽取样本以估计后验均值。链长为 n=10000（舍弃预烧期后），样本方差为 s²=5。经检验，估计后验均值时样本的集成自相关时间为 τ=5（已按初序单调估计量法估计，保守起见可直接用于误差计算）。若用 MCSE = √(s²·τ/n) 估计均值的蒙特卡洛标准误差，则该后验均值估计的 MCSE = ____。

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12. 设某学生用 Metropolis-Hastings 算法从目标分布 π(x) 中抽取了一条长度 n=400 的马尔可夫链样本，记样本均值为 x̄，用于估计 Eπ(X)。已知该链的有效样本量为 ESS=100，且样本标准差 s=2。请按 MCMC 样本误差估计的常用公式，计算该估计量的蒙特卡洛标准误 MCSE = s/√ESS。

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13. 设目标分布为 p(x) ∝ e^(−x)，x>0。使用随机游走 Metropolis-Hastings 算法：从当前状态 x=2 出发，提议分布为对称均匀分布 q(x′|x) = 1/2（当 x′∈[x−1, x+1]，否则为0）。某次迭代中提议新状态 x′=3.5。请计算该提议被接受的概率（用 e 的幂表示精确值，并给出保留四位小数的近似值）。

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14. 在 Metropolis-Hastings 算法中，从当前状态 x 出发，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′ 后，需以概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} 接受候选点。若提议分布为对称分布，即 q(x′|x) = q(x|x′)，则接受概率简化为 α(x, x′) = min{1, ____}。

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15. 设二维正态总体 (X,Y) 服从 N(0,0,1,1,ρ)，相关系数 ρ=1/3。对 (X,Y) 施行 Gibbs 采样：每次完整迭代先从条件分布 X|Y=y 抽取 x，再从条件分布 Y|X=x 抽取 y。由正态条件分布公式，X|Y=y 服从均值为____、方差为____的正态分布（方差写成分数）；若当前迭代得到的 y 值为 3，则下一步抽取的 X 的条件期望为____。

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16. 设二维目标分布定义为：X 的边缘先验为 N(0, 4)，给定 X=x 时 Y 的条件分布为 N(2x, 1)。用 Gibbs 采样从该分布抽样，迭代次序为先更新 X 再更新 Y。设初始值 Y₀=1，则第一次更新时需从条件分布 X|Y=1 抽样，该条件分布为正态分布，其方差为 ____。

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17. 在 Metropolis-Hastings 算法中，设当前状态为 x，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′。已知目标密度 p(x)，则接受概率 α(x, x′) 的正确表达式为（　） A. min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} B. min{1, [p(x)q(x′|x)] / [p(x′)q(x|x′)]} C. p(x′)q(x′|x) D. min{1, p(x′)/p(x)}，无论提议分布是否对称

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18. 在用Gibbs采样估计某后验分布时，运行 m=2 条平行链，每条链长 n=100。取链后半段计算得：链内平均方差 W=4，链间方差 B=400。采用 Gelman-Rubin 诊断，势缩减因子按 R̂ = √[ ((n−1)/n × W + B/n) / W ] 计算。若判定收敛的标准为 R̂ < 1.1，则关于该采样的正确结论及 R̂ 数值是： A. R̂ ≈ 1.21，已收敛 B. R̂ ≈ 1.10，恰好收敛 C. R̂ ≈ 1.00，已收敛 D. R̂ ≈ 1.41，未收敛

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19. 设目标分布定义在状态空间 {1,2,3} 上，概率为 p(1)=1/14, p(2)=4/14, p(3)=9/14。使用独立提议分布的 Metropolis-Hastings 采样，接受概率为 α(i→j)=min{1, [p(j)q(i)]/[p(i)q(j)]}。考虑两个提议分布：候选A为均匀分布 q(1)=q(2)=q(3)=1/3；候选B为 q(1)=1/6, q(2)=1/3, q(3)=1/2。对每个候选，先计算各状态处的比值 r(i)=p(i)/q(i)，再求三个状态的接受率 α(i→j)（对 i 固定、j 取其余两态）的平均值，最后求三状态平均的总体平均接受率。问：候选B的总体平均接受率是多少？它是否优于候选A？

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20. 设目标分布为 p(x) ∝ e^(−x)（x>0），采用独立提议的 Metropolis-Hastings 算法，提议分布为 q(x′|x) = 2e^(−2x′)（与当前状态无关，即参数为2的指数分布密度）。若当前状态 x=2，提议产生候选点 x′=1，则接受该候选点的概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x)]/[p(x)q(x′)]} 等于多少？ A. 1 B. e^(−1) C. e^(−2) D. 1/2

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21. 用 Metropolis-Hastings 算法得到某目标分布的长度为 n=500 的链样本，用于估计均值 Eπ[X]。已知样本方差 s²=4，且由样本自相关估计得到的综合自相关时间 τ=3。若以 SE=sqrt(τ·s²/n) 作为样本均值的蒙特卡洛标准误，则该估计的标准误约为 ____（保留三位小数）。

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22. 在 Metropolis-Hastings 算法的一次迭代中，若候选点 x′ 被拒绝，则链的下一个状态应取为：A. 重新抽取一个新的候选点 B. 保持当前状态 x 不变 C. 取候选点 x′ 的负值 D. 直接返回初始状态重新出发

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23. 状态空间为{A,B,C}，目标分布的未归一化权重分别为1、3、2。当前状态为B，提议分布满足q(C|B)=1/2、q(B|C)=1/4。一次提议得到C，生成的均匀随机数为u=0.4。按Metropolis-Hastings算法计算接受概率，并确定下一状态。

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24. 目标分布为 p(x) ∝ 2x·e^(−x²)（x>0），采用独立提议的 Metropolis-Hastings 算法，提议分布为 q(x′)=e^(−x′)（x′>0）。已知当前状态 x=1，候选点由提议分布产生为 x′=2。计算接受概率 α(x, x′)，并判断若生成均匀随机数 u=0.9 时是否接受该候选点。

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25. 某研究者用平稳马尔可夫链的 n=600 个连续样本估计 Eπ[g(X)]。样本方差为 6，样本自相关估计为 ρ₁=0.5、ρ₂=0.25；按截断到滞后 2 的估计，令其余滞后自相关为 0。估计该样本均值的标准误约为多少？ A. 0.100　B. 0.158　C. 0.250　D. 0.395

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26. 离散目标分布的未归一化权重为：X=0 时，Y=0、1 的权重分别为1、3；X=1 时分别为2、1；X=2 时分别为1、2。每轮按先更新X、再用新X更新Y的顺序进行Gibbs采样；各条件分布均按状态从小到大用逆累积分布法抽样。当前状态为(X,Y)=(2,0)，本轮更新X和Y分别使用均匀数u=0.60、v=0.80。完成一轮后的状态为(X,Y)=____。

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27. 对某目标分布运行 m=3 条独立的 Metropolis-Hastings 链，每条链长度均为 n=50。取各链后半段样本计算得到：链内方差平均值 W=2，链间方差 B=8。采用 Gelman-Rubin 收敛诊断，定义总方差估计 V̂=((n-1)/n)·W + (1/n)·B，则 R̂=√(V̂/W) 的值为 ____（结果保留两位小数）。

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