大学量子力学上册《定态微扰论》练习题

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本单元考点（5 个）

非简并定态微扰论能量一级修正与二级修正波函数的一级修正简并微扰论与久期方程微扰论的适用条件

本单元练习题（27 题）

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1. 一维无限深势阱中粒子，阱宽 a=3，势阱位于 0<x<a 区域，未扰动能级 E_n^(0)=n²π²ħ²/(2ma²)。现施加微扰 H′=V₀（V₀=2，单位与哈密顿量一致），其作用范围仅为右半阱 a/2<x<a，左半阱内微势为零。试用一阶定态微扰论求基态（n=1）能量的一级修正 E₁^(1)。

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2. 某非简并体系取 H=H0+H′，H0 的三个最低能级为 E1⁰=1、E2⁰=2、E3⁰=3（能量单位），在 H0 表象中微扰只有矩阵元 W11=1/2、W12=W21=1/2，其余全为零。用定态微扰论求基态能量至二级修正，结果为（能量单位）：A. 5/4　B. 7/4　C. 3/2　D. 1/2

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3. 一维无限深势阱中粒子，阱宽 a=1，势阱位于 0<x<1 区域，基态波函数 ψ₁(x)=√2·sin(πx)。现施加微扰 H′=V₀（V₀=10，能量单位），其作用范围仅为左半阱 0<x<1/2，右半阱内微势为零。用非简并定态微扰论计算基态能量的一阶修正，则 E₁^(1)=____。

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4. 某体系的未微扰哈密顿量 H₀ 的本征态为 φ₁、φ₂（能量 E₁⁽⁰⁾=3 eV、E₂⁽⁰⁾=7 eV，非简并），更高能级可忽略。加入微扰后，H′ 在 {φ₁, φ₂} 张成的子空间中的矩阵为 H′ = [[0.3, 0.4], [0.4, 0.1]]（单位 eV）。用非简并定态微扰论求：(1) E₁ 的一级修正 E₁⁽¹⁾ 与二级修正 E₁⁽²⁾；(2) E₂ 的一级修正 E₂⁽¹⁾ 与二级修正 E₂⁽²⁾。

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5. 某二能级体系未受微扰时能级为 E₁⁰=2.0 eV、E₂⁰=3.5 eV，所加微扰在两能级间的矩阵元 H′₁₂=0.12 eV。微扰论适用的定性判据是微扰矩阵元远小于相关能级间距。为判断该微扰是否可用非简并定态微扰论处理，应计算比值 H′₁₂/(E₂⁰−E₁⁰)，并要求其远小于 1（工程上常取不超过 0.1）。则该比值为多少，结论如何？ A. 0.08，满足条件，微扰论适用 B. 0.8，不满足条件，微扰论不适用 C. 0.012，满足条件，微扰论适用 D. 0.12，不满足条件，微扰论不适用

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6. 某二能级体系未受微扰时能级为 E₁⁰=1 eV、E₂⁰=3 eV。所加微扰 H′ 在该两能级张成的子空间内的矩阵为 H′ = [[0, ε],[ε, 0]]（对角元为零），ε>0。(1) 写出非简并定态微扰论适用的定量判据（用能级间距 ΔE=E₂⁰−E₁⁰ 与微扰矩阵元表示，工程上常取 |H′₁₂| ≤ ΔE/10）。(2) 据此求本题中 ε 允许的最大值。(3) 取 ε=0.15 eV，判断微扰论是否适用，并用微扰论计算基态能量的二级修正（单位 eV）。

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7. 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子处于基态，现受到微扰 H' = λx（λ 为小常数）作用。用非简并定态微扰论求基态能量的一级修正 E₁⁽¹⁾。A. λa/2　B. λa　C. λa/3　D. λa/4

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8. 一维无限深势阱中粒子，阱宽 a=2，势阱位于 0<x<a 区域。现施加微扰 H′=V₀（V₀=4，单位与哈密顿量一致），其作用范围仅为左半阱 0<x<a/2，右半阱微扰为零。用非简并定态微扰论求基态（n=1）能量的一级修正。 A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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9. 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子处于基态 ψ₁(x)=√(2/a)sin(πx/a)。现施加微扰 H' = λx（λ 为小量）。用非简并定态微扰论，基态能量的一级修正 E₁⁽¹⁾ = ____（用 λ、a 表示）。

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10. 二维各向同性谐振子的第一激发态能级为二重简并，记简并基矢为 |1⟩、|2⟩。加入微扰后，H' 在该简并子空间中的矩阵元为 H'₁₁=ε，H'₂₂=ε，H'₁₂=H'₂₁=4ε。按简并微扰论，波函数一级修正系数 (c₁,c₂) 满足久期方程 ∑ⱼ(H'ᵢⱼ−E⁽¹⁾δᵢⱼ)cⱼ=0，其有非零解的条件是系数行列式等于____；由此解得能量的一级修正为 E₊⁽¹⁾=____（取较大者），对应零级近似波函数为 (|1⟩+|2⟩)/√2。

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11. 设某量子体系哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征能量为 E₁⁰=2、E₂⁰=5、E₃⁰=10（能量单位任意），对应的本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩。微扰 H′ 在该基底下的非零矩阵元为 H′₂₁=⟨2|H′|1⟩=1/2，H′₃₁=⟨3|H′|1⟩=1/2，H′₃₃=1/4，其余矩阵元为零。用非简并定态微扰论求基态 |1⟩ 波函数的一级修正中 |2⟩ 与 |3⟩ 的展开系数 c₂⁽¹⁾、c₃⁽¹⁾。

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12. 某体系哈密顿量 H₀ 的激发能级 E₀=ħ²/(2I) 为二重简并，记简并子空间基矢为 |a⟩、|b⟩。加入微扰 H′ 后，H′ 在该子空间中的矩阵为 H′ₐₐ=H′ᵦᵦ=0，H′ₐᵦ=H′ᵦₐ=λ（λ>0）。由久期方程解得能量的一级修正，其中较高的修正值为____。

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13. 设量子体系哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征能量为 E₁⁰=3、E₂⁰=6（能量单位任意），对应本征态记为 |1⟩、|2⟩，二者非简并。已知微扰矩阵元 H′₂₁=⟨2|H′|1⟩=0.3，其余矩阵元不考虑。在非简并定态微扰论中，体系波函数的一级修正为 |ψ₁⁽¹⁾⟩=∑(n≠1) [H′ₙ₁/(E₁⁰−Eₙ⁰)] |n⟩。则在波函数一级修正中 |2⟩ 前的系数 c₂⁽¹⁾=____。

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14. 某体系 H₀ 的某能级为二重简并，取简并子空间基矢 |1⟩、|2⟩，加入微扰 H′ 后其矩阵元为 H′₁₁=ε，H′₂₂=ε，H′₁₂=H′₂₁=2ε（ε>0）。在简并子空间内写出久期方程 det(H′ᵢⱼ−E⁽¹⁾δᵢⱼ)=0，解得一级能量修正的两个值为 E⁽¹⁾=____ 和 ____（用 ε 表示），相应的能级一级修正的裂距为____。

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15. 设某体系的哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征值与本征态为 E₁⁰=1、E₂⁰=3、E₃⁰=8（能量单位任意），对应本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩，均为非简并且正交归一。微扰在 H₀ 表象下的矩阵元为：H′₁₂=0.1，H′₁₃=0.2，H′₂₃=0.3，对角元及其余矩阵元均为零（H′ 为厄米实矩阵，即 H′₂₁=0.1、H′₃₁=0.2、H′₃₂=0.3）。试求体系基态波函数的一级修正 |1^(1)⟩（用 H₀ 的本征态展开表示）。

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16. 某二能级体系 H=H₀+H′，H₀ 的两个最低能级 E₁⁽⁰⁾=4 eV、E₂⁽⁰⁾=10 eV 均非简并，更高能级可忽略。在 H₀ 表象中微扰矩阵元为 W₁₁=W₂₂=0，W₁₂=W₂₁=2 eV。用非简并定态微扰论分别求两个能级的一级修正 E₁⁽¹⁾、E₂⁽¹⁾ 和二级修正 E₁⁽²⁾、E₂⁽²⁾。

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17. 某非简并体系 H=H₀+H′，H₀ 的两个最低能级为 E₁⁽⁰⁾=2、E₂⁽⁰⁾=5（能量单位），在 H₀ 表象中微扰矩阵元为 W₁₁=3/5、W₁₂=W₂₁=1/2、W₂₂=0，更高能级可忽略。用定态微扰论求基态能量的二级修正 E₁⁽²⁾。 A. 1/12　B. −1/12　C. 1/6　D. −1/6

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18. 设量子体系哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征能量为 E₁⁰=2、E₂⁰=4、E₃⁰=9（能量单位任意），对应本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩，均非简并。微扰在 H₀ 表象中仅有的非零非对角矩阵元为 H′₁₂=1，H′₁₃=2（其余非对角元为零，H′ 为厄米）。取归一化一级修正波函数中 c₁⁽¹⁾=0，则 |1⟩ 的波函数一级修正 |ψ₁⁽¹⁾⟩ 为A. (1/2)|2⟩+(2/7)|3⟩　B. −(1/2)|2⟩−(2/7)|3⟩　C. −(1/2)|2⟩+(2/7)|3⟩　D. −(1/4)|2⟩−(2/9)|3⟩

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19. 某体系 H₀ 的某能级为二重简并，取简并子空间基矢 |1⟩、|2⟩。加入微扰 H′ 后，其在该子空间中的矩阵元为 H′₁₁=3ε，H′₂₂=ε，H′₁₂=H′₂₁=√2 ε（ε>0）。写出久期方程后可解得一级能量修正的两个可能值为 E′₁=____ 和 E′₂=____（按从小到大排列，用 ε 表示）。

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21. 一维谐振子（取 ħ=m=ω=1，能量单位为 ħω），哈密顿量 H₀=p²/2+x²/2，基态波函数 ψ₀(x)=π^(-1/4)·e^(-x²/2)，基态能量 E₀^(0)=1/2。现施加微扰 H′=λx⁴（λ 为小量）。用非简并定态微扰论求基态能量的一级修正 E₀^(1)（提示：⟨x⁴⟩=3/4 对应归一化基态）。

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22. 某量子体系 H₀ 的某能级 E⁽⁰⁾ 为二重简并，取简并子空间正交归一基矢 |1⟩、|2⟩。加入微扰 H′ 后，其在该子空间中的矩阵元为 H′₁₁=ε，H′₂₂=3ε，H′₁₂=H′₂₁=√3ε（ε>0）。求：（1）写出久期方程；（2）求能量的一级修正 E⁽¹⁾ 的两个可能值；（3）求对应的零级修正波函数（用 |1⟩、|2⟩ 表示并归一化）。

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23. 某体系的能级 E⁰ 为二重简并，取简并子空间正交归一基矢 |1⟩、|2⟩，加入微扰 H′ 后，其在该子空间中的矩阵为 H′₁₁=0，H′₂₂=0，H′₁₂=H′₂₁=2ε（ε>0）。按简并微扰论求解久期方程，可得一级近似下该能级分裂为两个能级，其一为 E⁰+2ε，则另一能级为 ____，能级劈裂宽度（两能级之差）为 ____。

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24. 某二能级体系 H=H₀+H′，H₀ 的两个能级 E₁⁽⁰⁾=1、E₂⁽⁰⁾=3（能量单位）均非简并，更高能级可忽略。在 H₀ 表象中微扰矩阵为 W₁₁=W₂₂=0，W₁₂=W₂₁=1/2。用微扰论计算基态能量修正 E₁⁽¹⁾+E₁⁽²⁾，其值为多少？ A. −1/8 B. 1/8 C. −1/4 D. 1/4

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25. 设量子体系哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征能量为 E₁⁰=1、E₂⁰=3、E₃⁰=7（能量单位任意），对应本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩，均非简并。微扰在小量一级近似下的矩阵元仅有：H′₁₂=H′₂₁=2，H′₁₃=H′₃₁=1，其余 H′ᵢⱼ 及对角元均为 0。按定态微扰论，波函数的一级修正为 |ψ₁⟩=|1⟩+∑ₘ≠₁ [H′ₘ₁/(E₁⁰−Eₘ⁰)]|m⟩，则修正到一级的态 |ψ₁⟩ 应为（系数归一化常数略去）　A. |1⟩+|2⟩+(1/6)|3⟩　B. |1⟩−|2⟩−(1/6)|3⟩　C. |1⟩−|2⟩+(1/6)|3⟩　D. |1⟩+|2⟩−(1/6)|3⟩

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26. 一维谐振子（取 ħ=m=ω=1，能量单位为 ħω），哈密顿量 H₀=p²/2+x²/2，基态波函数 ψ₀(x)=π^(-1/4)e^(-x²/2)。现施加微扰 H′=λx²（λ=4）。用非简并定态微扰论，基态能量的一级修正 E₀^(1)=λ∫₋∞^(+∞)x²|ψ₀(x)|²dx 等于多少？ A. 1 B. 4 C. 2 D. 1/2

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27. 一维谐振子（取 ħ=m=ω=1，能量单位为 ħω），哈密顿量 H₀=p²/2+x²/2，能级 E_n^(0)=n+1/2。现施加微扰 H′=λx⁴，其中 λ=4/3 为小量。利用基态波函数 ψ₀(x)=π^(-1/4)e^(-x²/2) 及积分公式 ∫₀^∞ x²ⁿe^(-x²)dx=(2n−1)!!√π/2ⁿ⁺¹，用非简并定态微扰论求基态能量的一级修正 E₀^(1)（以 ħω 为单位）。

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