大学量子力学上册《波函数与薛定谔方程》练习题

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本单元考点（5 个）

波函数的统计诠释波函数的归一化条件薛定谔方程的建立概率流密度与连续性方程定态薛定谔方程

本单元练习题（27 题）

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1. 设波函数 ψ(x,t) = A·exp[i(kx − ωt)]，其中 A、k、ω 为常数。已知能量算符 E 对应 iℏ·∂/∂t，动量算符 p 对应 −iℏ·∂/∂x。将 ψ(x,t) 分别代入两算符的作用，求出 E 与 p 的表达式，并利用 E = p²/(2m)（m 为粒子质量）写出该波函数满足的薛定谔方程，验证其形式为 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²。

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2. 设粒子处于一维状态 Ψ(x)=A·e^(−x)（x≥0；x<0 时 Ψ=0），A>0。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____；归一化后，粒子坐标出现在区间 0≤x<(ln2)/2 内的概率为 ____。

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3. 某微观粒子处于一维状态 Ψ(x)=A·e^(−3x)（x≥0；x<0 时 Ψ=0），其中 A>0。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____；归一化后，粒子坐标出现在区间 [0, 1/3] 内的概率为____。

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4. 一维情形下，某粒子的概率密度为 ρ(x,t) = (1/L) exp[−(x−vt)²/L²]，其中 v = 2 m/s，L = 1 m 均为常数，且 x→−∞ 处概率流密度 j→0。由概率守恒的连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0 出发，可唯一确定概率流密度 j(x,t)，则 x = vt + L 处的 j 值为（　） A. 2/e s^(−1) B. 2 s^(−1) C. 4/e s^(−1) D. 0

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5. 设一维粒子所处状态由波函数 Ψ(x)=A·x·e^(−2x) 描述（x≥0；x<0 时 Ψ(x)=0），A>0 为实常数。(1) 求归一化常数 A；(2) 求归一化后粒子坐标出现在区间 0≤x≤1/2 内的概率。

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6. 设一维自由粒子的波函数为 ψ(x,t) = A·exp[i(kx − ωt)]，其中 A、k、ω 为常数。一维自由粒子的薛定谔方程为 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²，它可由非相对论能量关系 E = p²/2m 结合算符对应 E 对应 iℏ·∂/∂t、p 对应 −iℏ·∂/∂x 建立。取自然单位制 ℏ = 1、m = 1，并已知 k = 3。(1) 将 ψ(x,t) 代入薛定谔方程，求出 ω 必须满足的值；(2) 说明若把能量关系错误地用相对论无质量情形 E = pc 对应建立方程 iℏ·∂ψ/∂t = c·(−iℏ·∂/∂x)ψ，则在同样的 k = 3 下 ω 又为多少（取 c = 1），并指出两结果之差。

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7. 一维势阱中某粒子处于定态比例衰减的态，其概率密度为 ρ(x,t) = e^(−2t)·sin²x（0 ≤ x ≤ π，t 以 s 计，ρ 的单位为 m^(−1)），且已知边界处概率流 j(0,t) = j(π,t) = 0。粒子满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0。（1）由连续性方程求出概率流密度 j(x,t) 的表达式；（2）计算 t = (ln 2)/2 s 时刻、x = π/2 处的概率流密度值。

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8. 粒子由归一化波函数 Ψ(x) 描写，则 x 处 x~x+dx 区间内发现粒子的概率是什么？A. |Ψ(x)|²dx　B. Ψ(x)dx　C. |Ψ(x)|　D. |Ψ(x)|²

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9. 一维无限深方势阱（0<x<a，阱外势能无穷大）中粒子的定态波函数为 ψₙ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a)。若粒子处于基态 n=1，则其概率密度最大处 x=____，定态能量 E₁ 与第二激发态能量 E₃ 之比 E₁:E₃=____。

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10. 质量为 m 的粒子沿 x 方向作自由运动，其波函数为 ψ(x,t)=A e^{i(kx−ωt)}，其中 A=1×10⁶ m^(−1/2) 为实常数，粒子速度 v=5×10⁵ m/s。则该粒子对应的概率流密度 j 的大小为多少？ A. 2×10¹¹ m⁻¹s⁻¹ B. 5×10¹¹ m⁻¹s⁻¹ C. 5×10⁵ m⁻¹s⁻¹ D. 1×10¹² m⁻¹s⁻¹

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11. 一维无限深方势阱中质量为 m 的粒子，阱宽为 a。已知其基态能量为 4 eV，则第一激发态（n=2）的能量为 ____ eV，第三能级（n=3）的能量为 ____ eV。

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12. 质量为 m 的粒子波函数为 ψ(x) = e^(ikx) + (1/2)e^(-ikx)（A=1，k>0）。由概率流密度公式 j = (ħ/m)Im(ψ*∂ψ/∂x)，求 x=0 处的 j 值。 A. 3ħk/(4m) B. ħk/m C. ħk/(2m) D. −ħk/(4m)

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13. 质量为 m 的一维自由粒子沿 x 方向运动，波函数为 ψ(x,t)=A e^{i(kx−ωt)}，其中 A 为实常数。为便于数值计算，取单位使 ħ/m=1（即以 ħ/m 为速度单位），已知 |A|²=6 m⁻¹，k=5 m⁻¹。求：(1) 该波函数相应的概率流密度 j 的数值；(2) 写出此情形下概率密度 ρ=|ψ|² 所满足的连续性方程，并指出 ∂ρ/∂t 的值。

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14. 某粒子被一维波函数 Ψ(x, t) 描写，按波函数的统计诠释，|Ψ(x, t)|² 的物理意义是什么？A. 粒子在 t 时刻出现于 x 处的概率　B. 粒子在 t 时刻出现于 x 处的概率密度　C. 粒子在 x 处的动量密度　D. 粒子在 t 时刻出现于 x 处的概率流密度

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15. 质量为 m 的粒子在一维空间处于波函数 ψ(x)=Ae^(ikx) 描述的态，其中 A=1/2，k=8。取单位使 ħ/m=2。由概率流密度公式 j=(ħ/m)|A|²k，可求得该态下粒子沿 x 方向的概率流密度为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

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16. 粒子由归一化波函数 Ψ(x, t) 描写。按玻恩的统计诠释，t 时刻在区间 [a, b] 内发现粒子的概率 P = ____，该式表明波函数本身____（填“可直接观测”或“不可直接观测”）。

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17. 设一维自由粒子的波函数为 ψ(x,t) = A·exp[i(3x − 5t)]，其中 A 为归一化常数，坐标 x 以米为单位，时间 t 以秒为单位，指数中 3 的单位为 m⁻¹，5 的单位为 s⁻¹。取 ℏ 为约化普朗克常量。（1）将 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x² 形式的薛定谔方程代入该波函数，求该粒子质量 m 的表达式（用 ℏ 和数值表示）；（2）说明该波函数满足的是自由粒子（势能 V = 0）的薛定谔方程。

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18. 一维无限深方势阱（0<x<a，阱外势能无穷大）中质量为 m 的粒子，已知阱宽为 a 时基态（n=1）能量为 2 eV。若保持粒子质量不变，将阱宽缩为 a/2，求该体系第一激发态（n=2）的能量。

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19. 设粒子处于一维状态 Ψ(x)=A·e^(−x/a)（x≥0；x<0 时 Ψ(x)=0），其中 a>0 为已知常量，A>0。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____；归一化后，粒子坐标出现在区间 [a·ln2/2, +∞) 内的概率为____。

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20. 设某微观粒子处于一维状态，其波函数为 Ψ(x)=A·e^(−x²/2)（−∞<x<+∞），A>0 为实常数。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____（用 π 的幂表示）；归一化后，粒子在任意位置 x 处被观测到的概率密度 ρ(x) 在 x=____ 处取得最大值。

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21. 已知一维自由粒子的波函数为 ψ(x,t) = A·exp[i(px − Et)/ℏ]，其中 p、E 为常数。将算符 E 对应 iℏ·∂/∂t、算符 p² 对应 −ℏ²·∂²/∂x² 代入后，可验证该波函数满足的自由粒子薛定谔方程为：iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²。由代入结果可知，能量 E 与动量 p 满足的关系是（） A. E = p²/(2m)　B. E = p²/m　C. E = pc　D. E = −p²/(2m)

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22. 在建立一维薛定谔方程的过程中，将平面波形式的尝试解 ψ(x,t) = A·exp[i(kx − ωt)] 代入方程 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²，并要求等式对任意 x、t 成立。取 ℏ = 1 J·s，粒子质量 m = 1 kg，波数 k = 2 m⁻¹，则所要求的角频率 ω 应为多少（单位 s⁻¹）？ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

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23. 一维自由粒子（势能 V(x)=0）的定态波函数 ψ(x)=sin(3πx/a)（a>0，只考虑 0<x<a 区间）满足定态薛定谔方程 −(ħ²/2m)ψ″(x)=Eψ(x)。将 ψ 代入方程，得其对应能量 E=____（用 ħ、m、a 表示）。

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24. 某粒子由归一化波函数 Ψ(x) 描写。已知在区间 [0, 1/3] 内发现该粒子的概率为 1/4，且 Ψ(x) 在此区间内为实常数函数。若概率密度 |Ψ(x)|² 在其余区域取不同值，则该区间内 |Ψ(x)|² = ____，故 Ψ(x) 在 x 处体积元内发现粒子的概率表达式为 ____·dx（用 Ψ 表示）。

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25. 设一维粒子状态由分段波函数描述：Ψ(x)=A，当 0≤x≤1；Ψ(x)=2A，当 1<x≤3；其余区域 Ψ(x)=0，其中 A>0 为实常数。若将 Ψ(x) 归一化，求常数 A 的值（结果用分数表示）。

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26. 一维粒子由波函数 Ψ(x) 描写：在区间 [0, 2] 内 Ψ(x) = A（实常数），在其余区域 Ψ(x) = 0。(1) 求归一化常数 A；(2) 按波函数的统计诠释，求在区间 [1/2, 3/2] 内发现该粒子的概率 P。

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27. 一维无限深方势阱（0<x<a，阱外势能无穷大）中质量为 m 的粒子，其定态波函数为 ψ(x)=sin(2πx/a)。将 ψ(x)=sin(2πx/a) 代入定态薛定谔方程 −(ħ²/2m)ψ″(x)=Eψ(x)，可求得该定态对应的能量 E 为（　） A. π²ħ²/(2ma²) B. 2π²ħ²/(ma²) C. 4π²ħ²/(ma²) D. 8π²ħ²/(ma²)

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