大学量子力学上册《角动量理论》练习题

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本单元考点（5 个）

轨道角动量算符与对易关系角动量升降算符角动量本征值与本征态球谐函数角动量量子化

本单元练习题（27 题）

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1. 设轨道角动量算符 L 满足 L±=Lx±iLy，且 L²L±=L±L²。已知体系处于角量子数 l=2、磁量子数 m=1 的态 |2,1⟩，利用升降算符关系 L+L−=L²−Lz² 及 L−L+=L²−Lz²+2ħLz，计算矩阵元 ⟨2,1|Lx²|2,1⟩ = ____ ħ²。

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2. 某粒子处于轨道角动量量子数 l=2 的态，实验测得其角动量 z 分量 L_z 取该量子数允许的最大值。根据角动量量子化规则，此态中角动量大小 |L| 等于多少？ A. 2ħ B. 2√2ħ C. √6ħ D. 2√3ħ

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3. 设轨道角动量本征态 |l,m⟩ 满足 L²|l,m⟩=l(l+1)ħ²|l,m⟩，Lz|l,m⟩=mħ|l,m⟩。某粒子的归一化波函数为 ψ=(1/3)|1,1⟩+(2/3)|1,0⟩+(2/3)|1,-1⟩。求：(1) 对该态测量 Lz 得到 ħ 的概率；(2) Lz 的期望值 ⟨Lz⟩；(3) L² 的期望值 ⟨L²⟩（用 ħ 表示）。

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4. 已知球谐函数 Y_lm 是角动量算符的本征函数，且 L₊Y_lm = ħ√(l(l+1)−m(m+1)) Y_l,m+1。将升算符 L₊ 连续作用两次于 Y₁,₋₁，即 (L₊)²Y₁,₋₁ = c·ħ²Y₁,₁，则常数 c = ____。

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5. 下列关于球谐函数 Y_lm(θ,φ) 的说法正确的是： A. Y_lm 与 l、m 均无关 B. 对固定的 l，m 可取任意整数 C. Y_lm 是 L² 的本征函数，本征值为 l(l+1)ℏ² D. Y_00(θ,φ) ≡ 0

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6. 已知角量子数 l=2 的轨道角动量，用球谐函数 Y_lm 的性质判断：下列关于磁量子数 m 的取值及对应球谐函数的说法中，正确的是哪一项？ A. m 可取 -3 至 3 的所有整数，共 7 个 Y_lm B. m 可取 -2, -1, 0, 1, 2，共 5 个 Y_lm C. m 只能取非负值 0, 1, 2，共 3 个 Y_lm D. m 可取 -1, 0, 1，共 3 个 Y_lm

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7. 归一化球谐函数 Y₁₀(θ,φ) = ____ · cosθ，其中常数因子由归一化条件 ∫|Y₁₀|² dΩ = 1 确定，该常数为____。

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8. 设 L₊、L₋、Lz 分别为轨道角动量的升降算符与z分量算符，|l,m⟩ 为 (L², Lz) 的共同本征态。对角动量量子数 l=3、磁量子数 m=1 的态 |3,1⟩，数值 ħ²[L₊L₋|3,1⟩ 的展开系数] 等于多少？（即把 L₊L₋ 作用到 |3,1⟩ 后得到的 ħ² 乘的数值系数） A. 6 B. 12 C. 20 D. 24

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9. 已知轨道角动量算符 L = r × p，其直角坐标分量为 L_x、L_y、L_z，且坐标与动量满足对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij。利用 L_x = yp_z − zp_y 与 L_y = zp_x − xp_z，计算对易子 [L_x, L_y]，写出每一步展开过程，并据此说明该结果与角动量对易关系 [L_i, L_j] = iħε_ijk L_k 是否一致。

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10. 已知角动量平方算符 L² 的本征函数为球谐函数 Y_lm(θ,φ)，满足 L²Y_lm = l(l+1)ħ²Y_lm，且归一化条件为 ∫|Y_lm|²dΩ = 1。设粒子处于 l=1、m=0 的态，其波函数角向部分为 Y₁₀(θ,φ) = √(3/4π)cosθ。求：(1) 在该态中测量 L² 得到的唯一本征值；(2) 在该态中测量 Lz 得到的唯一本征值；(3) 概率密度 |Y₁₀|² 在 θ=0（北极）与 θ=π/2（赤道）两处的比值。

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11. 已知归一化球谐函数 Y₁₁(θ,φ) = −√(3/8π)·sinθ·e^(iφ)，则在 θ = π/2、φ = 0 处的概率密度 |Y₁₁(θ,φ)|² = ____。

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12. 设轨道角动量算符 L = r×p，其直角坐标分量满足对易关系 [L_x, L_y] = iħL_z（及轮换式）。本题中 x、y 为坐标算符，p_x、p_y 为动量算符，基本对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij，坐标之间、动量之间互相对易。完成以下计算：(1) 利用轮换对易关系求出 [L_z, x]、[L_z, y]、[L_z, p_x]、[L_z, p_y]（用 x、y、p_x、p_y 表示）；(2) 据此计算对易子 [L_z, x + ip_x] 并化简；(3) 计算 [L_z, L²]，其中 L² = L_x² + L_y² + L_z²，并说明该结果的物理含义。

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13. 设角动量算符满足 J₊=Jx+iJy，J₋=Jx−iJy，|j,m⟩ 为 (J², Jz) 的共同本征态。已知体系处于 j=2、m=0 的态 |2,0⟩，求：(1) 用升降算符公式 J₊|j,m⟩=ħ√(j(j+1)−m(m+1))|j,m+1⟩ 计算 J₊|2,0⟩；(2) 将所得结果再作用一次 J₊，求 J₊²|2,0⟩。

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14. 设 ℏ 为约化普朗克常数。某粒子处于轨道角动量本征态 |l,m⟩，测得其 L² 本征值为 20ℏ²，Lz 本征值为 −2ℏ。由 L² 本征值公式反解出 l = ____，从而该态可记为 |l,m⟩ = ____。

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15. 已知轨道角动量算符的定义 L_z = x p_y − y p_x，坐标与动量满足基本对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij，则对易子 [L_z, x] 等于多少？A. 0　B. iħ y　C. −iħ y　D. iħ x

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16. 设轨道角动量量子数 l=1，其本征态记为 |1,m⟩（m=1,0,−1）。某体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√6)(2|1,1⟩ + |1,0⟩ + |1,−1⟩)。求：(1) 在该态下测量 L² 的可能取值及相应概率；(2) ⟨Lz⟩；(3) 涨落 ΔLz 的平方 (ΔLz)²。结果以 ℏ 表示。

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17. 设轨道角动量升降算符满足 L₊|l,m⟩ = ħ√(l(l+1)-m(m+1)) |l,m+1⟩。已知体系处于 |2,0⟩ 态，则 L₊²|2,0⟩ = ____ ħ² |2,2⟩。

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18. 已知轨道角动量算符 L = r × p，即 L_x = yp_z − zp_y，L_y = zp_x − xp_z，L_z = xp_y − yp_x，坐标与动量满足对易关系 [x, p_x] = [y, p_y] = [z, p_z] = iħ，其余坐标与动量两两对易。则对易关系 [L_z, p_x] 等于 A. iħp_y　B. −iħp_y　C. iħp_x　D. −iħp_z

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19. 设轨道角动量算符 L = r×p，分量满足 [L_x, L_y] = iħL_z 及轮换关系，坐标与动量满足 [x_i, p_j] = iħδ_ij，其中 L_x = yp_z − zp_y。完成以下对易子计算并填空：[L_x, z] = ____，[L_x, [L_x, z]] = ____。

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20. 设轨道角动量本征态 |l,m⟩ 满足 L²|l,m⟩=l(l+1)ħ²|l,m⟩，L_z|l,m⟩=mħ|l,m⟩。若某态的轨道角动量量子数 l=3，则该态角动量在 z 方向的最大分量为____，角动量大小 |L| 等于____（均用 ħ 表示）。

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21. 某微观粒子处于轨道角动量量子数 l=3 的本征态。根据角动量量子化规则，求：(1) 该态中轨道角动量的大小 |L|；(2) 该态中 L_z 的最大取值；(3) 该量子数允许的 L_z 取值个数。

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22. 设轨道角动量算符 L = r×p，各分量满足对易关系 [L_i, L_j] = iħε_ijk L_k，坐标与动量满足 [x_i, p_j] = iħδ_ij。已知 r² = x²+y²+z² 与各动量分量对易，且 r² 与 L² = L_x²+L_y²+L_z² 均为转动不变的标量算符。利用上述对易关系计算对易子 [L², r²]，并进一步说明 L²、L_z、r² 能否构成一组两两对易的力学量：[L², r²] = ____，且 [L², L_z] = ____，故三者____（填「可」或「不可」）作为一组共同完备对易力学量的候选。

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23. 设轨道角动量算符 L_x = yp_z − zp_y，坐标与动量满足基本对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij（i≠j 时对易子为零）。则对易子 [L_x, p_y] 等于（　） A. iħp_z B. −iħp_z C. iħp_x D. 0

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24. 某电子处于轨道角动量量子数 l=2 的本征态，且磁量子数取 m=1。根据角动量量子化规则，下列关于该态的叙述正确的是：A. 角动量大小 |L|=2ħ，且 L_z=ħ　B. 角动量大小 |L|=√6 ħ，且 L_z=ħ　C. 角动量大小 |L|=√6 ħ，且 L_z=2ħ　D. 角动量大小 |L|=√2 ħ，且 L_z=ħ

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25. 设轨道角动量量子数 l=2，其本征态记为 |2,m⟩（m=2,1,0,−1,−2）。某体系处于态 |ψ⟩ = (1/√14)(|2,2⟩ + 2|2,1⟩ + 3|2,0⟩)，归一化。测 Lz 得 −ℏ 的概率为多少？A. 0　B. 1/14　C. 1/7　D. 3/14

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26. 某粒子处于轨道角动量量子数 l=3 的态，实验测得 L_z 取该量子数允许的最小值，即 m=-3。已知角动量平方本征值为 l(l+1)ħ²。(1) 求该态中角动量大小 |L|；(2) 求 |L| 与 L_z 之比 |L|/L_z；(3) 说明该比值为何为负，并指出其物理意义。

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27. 设轨道角动量量子数 l=2，其本征态记为 |2,m⟩（m=2,1,0,−1,−2），满足 L²|2,m⟩=l(l+1)ℏ²|2,m⟩，Lz|2,m⟩=mℏ|2,m⟩。某体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√21)(|2,2⟩ + 2|2,1⟩ + 4|2,0⟩)。(1) 验证 |ψ⟩ 确已归一化；(2) 求测量 Lz 得到 0 的概率；(3) 求 ⟨L²⟩ 与 ⟨Lz⟩（以 ℏ 表示）。

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