大学量子力学上册《含时微扰与跃迁》练习题

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本单元考点（5 个）

含时微扰一级近似费米黄金规则跃迁几率计算选择定则周期性微扰与共振跃迁

本单元练习题（9 题）

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1. 某二能级体系，初态为基态 |1⟩，末态 |2⟩ 与 |1⟩ 能级差为 ΔE，对应角频率 ω=ΔE/ℏ=4×10¹⁵ s⁻¹。t<0 时微扰为零；在 0≤t≤T 期间体系受恒定微扰 H'(t)=V₀（V₀ 为实常数，矩阵元 ⟨2|H'|1⟩=V₀，其他矩阵元不计），t>T 后微扰消失。取 ℏ=10⁻³⁴ J·s，V₀=10⁻¹⁹ J，且 T=π/ω。用含时微扰一级近似计算 T 时刻体系处于 |2⟩ 的跃迁概率。 A. 1/16　B. 1/8　C. 1/4　D. 1/2

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2. 某二能级体系，哈密顿量为 H₀，能级 E₂−E₁=ℏω（ω=2×10¹⁵ s⁻¹），t≤0 时体系处于基态 |1⟩。t≥0 时施加微扰 H'(t)=V（常量），其矩阵元满足 V₁₁=V₂₂=0，V₂₁=V₁₂*=ℏω/4。求 t=T=π/ω 时体系处于激发态 |2⟩ 的概率（一级微扰近似）。问该概率为多少？ A. 1/16 B. 1/8 C. 1/4 D. 1/2

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3. 二能级体系能量本征态为 |1⟩、|2⟩，能级间距为 ħω₀。t=0 起施加周期性微扰 H'(t)=F cos(ωt)，其中 F 在 |1⟩、|2⟩ 两态间的矩阵元为 F₂₁≠0。当微扰频率 ω 取何值时体系发生共振跃迁，且共振跃迁概率随时间如何变化？A. ω=ω₀，跃迁概率随时间近似按 sin²(ω₁t/2) 振荡，其中 ω₁=|F₂₁|/ħ　B. ω=2ω₀，跃迁概率随时间线性增长　C. ω=ω₀，跃迁概率恒为零　D. ω=ω₀/2，跃迁概率随时间指数衰减

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4. 处于初始能态的量子体系受到微扰 H′(t)，已知由初态到末态附近连续末态的跃迁速率满足费米黄金规则。实验测得跃迁速率为 W=2π×10¹⁶ s⁻¹，末态能态密度 ρ(E_f)=2×10³⁴ J⁻¹，普朗克常数取 ħ=2×10⁻³⁴ J·s。设微扰矩阵元 |H′_fi| 近似不变，则其数值为：A. 10⁻²⁶ J　B. 2×10⁻²⁶ J　C. 10⁻²⁵ J　D. √2×10⁻²⁶ J

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5. 氢原子中电子在电偶极近似下受各向同性的含时微扰作用而发生跃迁，微扰算符与位置矢量 r = x î + y ĵ + z k̂ 成正比。设初态为 3d 态（角量子数 l = 2），根据电偶极跃迁的选择定则 Δl = ±1，末态角量子数 l 的可能取值是（　） A. 只能是 1 B. 只能是 3 C. 只能是 1 或 3 D. 可以是 0、1、3、4 中的任意一个

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6. 某二能级体系，t≤0 时处于基态 |a⟩，激发态 |b⟩ 满足 E_b−E_a=ℏω，其中 ωτ=√3。t≥0 起施加微扰 H'(t)=V e^(−t/τ)（t<0 时为零），V、τ 为正常数且 Vτ/ℏ=1。用含时微扰一级近似计算 t→∞ 时体系跃迁到 |b⟩ 的概率 P，其值为多少？ A. 1/2　B. 1/4　C. 1/3　D. 1/8

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7. 一维谐振子带电粒子（电荷量 q）沿 x 方向受微扰 H'(t) = qE₀x·cos(ωt) 作用。已知谐振子本征态 |n⟩ 的位置算符 x 只连接相邻能级，即仅当 m = n±1 时 ⟨m|x|n⟩ ≠ 0。粒子初始处于基态 |0⟩，在电偶极近似下它能跃迁到哪些末态？A. 仅第一激发态 |1⟩　B. 所有激发态 |n⟩（n≥1）　C. 仅第二激发态 |2⟩　D. 任何末态均可跃迁

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8. 处于初态的量子体系受含时微扰 H′(t) 作用，向能量附近的连续末态跃迁。已知跃迁速率满足费米黄金规则 W = (2π/ℏ)|H′_fi|² ρ(E_f)，其中 ρ(E_f) 为末态能态密度。实验测得 W = 2π×10¹⁶ s⁻¹，末态能态密度 ρ(E_f) = 10³⁴ J⁻¹，取 ℏ = 10⁻³⁴ J·s。则微扰矩阵元的模方 |H′_fi|² 为（单位：J²）： A. 2×10⁻⁵² B. 1×10⁻⁵² C. 4π×10⁻⁵² D. 0.5×10⁻⁵²

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9. 某二能级体系能量本征态为 |1⟩、|2⟩，E₂−E₁=ℏω₀（ω₀>0）。t<0 时体系处于 |1⟩。在 0≤t≤T 时间段内施加常微扰 W，其仅有的非零矩阵元为 W₂₁=⟨2|W|1⟩=ℏω₀/2，其余矩阵元为零。若取 T=π/(3ω₀)，用一级含时微扰近似计算 t=T 时刻体系跃迁到 |2⟩ 的几率，结果为：A. 1/4　B. 1/2　C. 3/4　D. 1

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