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大学量子力学上册《散射理论》练习题

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本单元考点（5 个）

散射截面与散射振幅分波法相移及其物理意义玻恩近似低能散射与高能散射特点

本单元练习题（27 题）

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1. 粒子质量为 m 的入射束被球对称势场 V(r)=βe^(−r/a)/r 散射（β>0）。取自然单位使 A≡2mβ/ħ²=1，κ≡1/a=1。在 Born 近似下散射振幅为 f(θ)=−A/(κ²+q²)，其中 q=2k·sin(θ/2)。(1) 分别计算入射波数 k₁=0（极低能）与 k₂=√3（高能）时的总散射截面 σ；(2) 计算两种情形下向后散射（θ=π）与向前散射（θ=0）的微分截面之比；(3) 据此说明低能散射与高能散射各有什么角度分布特点。

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2. 在分波法中，各分波振幅在势场作用下相对入射渐近波产生的偏移角 δ_l 称为相移，它完全刻画了势场对散射的影响。低能粒子被某球对称短程势散射时仅 s 波（l=0）贡献显著，实验测得波数 k=0.10 fm^(-1) 时 s 波相移 δ₀=π/4。则由此相移决定的 s 波散射总截面 σ₀=4πsin²δ₀/k² = ____ fm²。

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3. 低能粒子被某球对称短程势散射，s 波（l=0）分波占主导，此时散射总截面为 σ=(4π/k²)sin²δ₀，其中 δ₀ 为 s 波相移。实验测得入射波数 k=0.50 fm^(-1) 时总截面 σ=16π fm²。取 δ₀∈[0,π]，则 s 波相移 δ₀ 为（　　） A. π/6　B. π/4　C. π/3　D. π/2

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4. 设粒子被某中心势散射，Born 近似给出的散射振幅为 f(θ)=a(2+cosθ)，其中 a 为常数，θ 为散射角（0≤θ≤π）。求微分散射截面 dσ/dΩ，并计算总散射截面 σ。

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5. 低能粒子被球对称势场散射时，若只有 l=0 的分波对散射有显著贡献，其余各分波的相移均可忽略，则散射振幅 f(θ) 等于多少？（已知相移为 δ₀，波数为 k）A. f(θ)=(1/k)e^(iδ₀)sinδ₀　B. f(θ)=(1/k)cosδ₀　C. f(θ)=k·sinδ₀　D. f(θ)=(1/k)e^(iδ₀)cosδ₀

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6. 低能粒子被某球对称短程势散射，散射振幅由分波法表示为 f(θ)=(1/k)∑(2l+1)e^(iδ_l)sinδ_l·P_l(cosθ)。关于相移 δ_l 的物理意义，下列说法正确的是： A. δ_l 表示第 l 个分波经势场散射后相对于自由传播波的相位滞后，它完全决定了该分波对散射截面的贡献 σ_l=(4π/k²)(2l+1)sin²δ_l B. δ_l 是粒子在势场中运动时动能的改变量，与散射角无关 C. δ_l 恒为正数，因为散射势总是使波函数相位超前 D. δ_l 只在 θ=0 方向的散射中才出现，对总散射截面没有贡献

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7. 质量为 m 的粒子被球对称方势阱 V(r) = -V₀（r<a 时），V=0（r≥a 时）散射。在一级玻恩近似下，散射振幅为 f = -(2m/ħ²q)∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，其中 q = 2k·sin(θ/2)。设 ħ²/m = 1，V₀ = 3，a = 1。当入射能量极低（k→0，即前向 θ→0）时，dσ/dΩ 等于多少？ A. 2 B. 4 C. 9 D. 16

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8. 设粒子质量 m=1（取 ħ=1）受球对称势 V(r)=V₀e^(-μr)/r 作用。在玻恩近似下，散射振幅为 f(θ)=-(2mV₀)/(ħ²(μ²+q²))，其中 q=2k·sin(θ/2) 为动量转移。若 V₀=1/2，μ=2，则前向散射（θ=0）的散射振幅 f(0)=____；由此得到的玻恩近似散射长度 a=f(0) 的绝对值为____（以自然单位表示）。

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9. 低能粒子被球对称势场散射，仅 l=0 分波有显著贡献，相移 δ₀ = π/6，入射波数 k = 2。由分波法，总散射截面 σ = (4π/k²)·sin²δ₀，则 σ = ____ π（填数值系数）。

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10. 低能散射（kR≪1，R为势场作用半径）时，各分波中只有s波（l=0）对散射有显著贡献，其原因是此时相位差随l增大迅速____；而高能散射（kR≫1）时，需要参与散射的分波数l大约为____（用k、R表示）。

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11. 某低能粒子被一个球对称短程势散射，s 波（l=0）分波占主导。实验测得入射波数 k=0.20 fm^(-1) 时，s 波相移为 δ₀=π/6。（1）说明相移 δ₀ 的物理意义；（2）由 s 波相移计算总散射截面。分波法总截面公式：σ = (4π/k²)∑(2l+1)sin²δ_l。

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12. 设某粒子被中心势散射，在小角度极限下 Born 近似给出的散射振幅为 f(θ)=f₀(1+cosθ)，其中 f₀ 为正常数，θ 为散射角。求总散射截面 σ。

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13. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 s 波（l=0）分波有显著贡献，其余分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1/2，s 波相移 δ₀ = π/4。由分波法求总散射截面 σ。

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14. 在分波法中，散射振幅 f(θ)=(1/k)∑(2l+1)e^(iδ_l)sinδ_l·P_l(cosθ)，其中 δ_l 称为____。相移反映入射粒子受势场作用后第 l 个分波的____（相位）相对于自由粒子情形的改变；当势场消失时，所有相移均为____。

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15. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 3，s 波相移 δ₀ = π/4。由分波法，总散射截面 σ = (4π/k²)·sin²δ₀，则 σ = ____ π（填系数）。

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16. 质量为 m=1 的粒子（取 ħ=1）被球对称高斯势 V(r)=V₀e^(-μr²) 散射，其中 V₀=4/√π，μ=1。已知在一级玻恩近似下，q=2k·sin(θ/2)，散射振幅为 f(θ)=-(2m/(ħ²q))∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，并利用积分 ∫₀^∞ re^(-μr²)sin(qr)dr=(q√π)/(4μ³)·e^(-q²/(4μ²))。求前向（θ=0）散射振幅 f(0) 及相应微分截面 dσ/dΩ 在 θ=0 处的值。

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17. 设粒子被某中心势散射，Born 近似给出的散射振幅为 f(θ)=√3 a + 3a·cosθ，其中 a 为常数，θ 为散射角（0≤θ≤π）。用微分散射截面 dσ/dΩ=|f(θ)|² 对全立体角积分求总散射截面，则 σ=____（用 π 和 a 表示）。

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18. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 4，s 波相移 δ₀ = π/3。由分波法，总散射截面 σ = (4π/k²)·sin²δ₀，则 σ 等于多少？ A. 3π/16　B. π/4　C. 3π/8　D. π/16

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19. 对于低能散射（kR≪1，R为势场作用半径）与高能散射（kR≫1）的物理特点，下列说法正确的是： A. 低能时各分波贡献相当，高能时只有s波贡献显著 B. 低能时只有s波（l=0）贡献显著，高能时需考虑大量l≤kR的分波，通常用Born近似 C. 低能与高能散射都只需考虑s波，分波法始终最简便 D. 低能时必须用Born近似，高能时只有p波贡献显著 解析见下

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20. 质量为 m=1 的粒子（取 ħ=1）被球对称高斯势 V(r)=V₀e^(-μr²) 散射，其中 V₀=2√2/π^(3/2)，μ=2。在一级玻恩近似下，散射振幅为 f(θ)=-(2m/ħ²q)∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，其中 q=2k·sin(θ/2)。利用积分公式 ∫₀^∞ r·e^(-μr²)sin(qr)dr = (q/4μ)·√(π/μ)·e^(-q²/(4μ))，求前向散射（q→0）时的散射振幅。 A. -1/(2π)　B. 1/(2π)　C. -1/π　D. -2/π

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21. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 与 l=1 两个分波有显著贡献，其余分波相移可忽略。已知入射波数 k = 2，s 波相移 δ₀ = π/6，p 波相移 δ₁ = π/6。由分波法，总散射截面 σ = (4π/k²)∑(2l+1)sin²δ_l，则 σ = ____ π。

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22. 低能粒子被球对称势场散射，仅 l=0 分波有显著贡献，其余分波相移可忽略。已知入射波数 k = 5，s 波相移 δ₀ = π/6。由分波法，总散射截面 σ 等于多少？ A. π/12 B. π/25 C. π/3 D. π/75

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23. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 与 l=1 两个分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1，s 波相移 δ₀ = π/4，p 波相移 δ₁ = π/6。由分波法求总散射截面 σ（单位与 a₀² 一致，其中 a₀ 为题中长度单位），并写出各分波对截面的贡献。

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24. 某粒子被中心势散射。在某一固定方向上，散射振幅的实部为 0.3 fm，虚部为 0.4 fm，其中 1 fm = 10⁻¹⁵ m。若以 fm²/sr 为单位，该方向的微分散射截面数值为？ A. 0.25　B. 0.35　C. 0.7　D. 2.5

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25. 质量为 m 的粒子（取 ħ=1）被球对称指数势 V(r)=V₀e^(-μr) 散射，其中 V₀、μ 为正常数。已知一级玻恩近似下，对中心势 V(r)，散射振幅为 f(θ)=-(2m/q)∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，其中 q=2k·sin(θ/2) 为动量转移。利用积分公式 ∫₀^∞ re^(-μr)sin(qr)dr = 2μq/(μ²+q²)²，求 f(θ) 的表达式。

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26. 低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 与 l=1 两个分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1，s 波相移 δ₀ = π/6，p 波相移 δ₁ = π/6。由分波法求总散射截面 σ，并指出微分截面中不同分波干涉项对总截面的贡献（只需说明为零）。

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27. 质量为 m 的粒子（取 ħ=1）被球对称汤川势 V(r)=V₀e^(-2r)/r 散射，V₀ 为正常数。已知一级玻恩近似下散射振幅为 f(θ)=-(2mV₀)/(4+q²)，其中 q=2k·sin(θ/2) 为动量转移。则当入射波数 k=1、前向散射（θ=0）时，散射振幅 f(0)=____。

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