大学量子力学上册《一维定态问题》练习题

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本单元考点（5 个）

一维无限深势阱线性谐振子能级与波函数势垒隧穿与透射系数一维束缚态基本性质反射系数与透射系数的计算

本单元练习题（27 题）

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1. 一维无限深势阱（0<x<a，阱外势能无穷大）中的粒子，其定态波函数在阱外恒为零。关于阱内束缚定态的下列说法，正确的是：A. 基态波函数在阱内有一个节点　B. 第 n 个激发能级的波函数在阱内恰有 n 个节点（n=1,2,3,…）C. 节点数随能量升高而减少　D. 基态波函数在阱内处处为零

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2. 质量为 m 的粒子以能量 E=4V₀/3（V₀>0）从 x<0 区域入射到位于 x=0 处的势阶：x<0 时势能为 0，x>0 时势能为 V₀。已知 k₁、k₂ 分别为势阶两侧的波数，则该粒子的透射系数 T 为（　） A. 1/9　B. 4/9　C. 2/3　D. 8/9

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3. 质量为 m、能量 E=2V₀（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。已知 √(2mV₀)a/ħ = π/4。求粒子的透射系数 T 与反射系数 R。

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4. 能量为 E=1 eV 的电子自左侧入射到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=2 eV，其余区域势能为 0，且 E<V₀。已知 a=0.30 nm，电子质量 m 对应 mc²=5.11×10⁵ eV，ħc=197.3 eV·nm。当 κa 较小时透射系数可近似为 T=[16E(V₀−E)/V₀²]·e^(−2κa)，其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ。求该电子的透射系数 T（保留两位有效数字）。

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5. 质量为 m、能量 E=2V₀（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。已知 k₂a=π/2（k₂=√(2m(E−V₀))/ħ），则该粒子对此势垒的透射系数 T=____，反射系数 R=____。

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6. 质量为 m 的粒子以能量 E=9V₀/8（V₀>0）从 x<0 区域入射到位于 x=0 处的势阶：x<0 时势能为 0，x>0 时势能为 V₀。记 k₁=√(2mE)/ħ，k₂=√(2m(E−V₀))/ħ，则透射系数 T=4k₁k₂/(k₁+k₂)²。本题中 k₂/k₁=____，透射系数 T=____，反射系数 R=____。

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7. 一维线性谐振子（势能为 1/2·μω²x²）处于状态 ψ(x)=C(8α³x³−12αx)e^(−αx²/2)，其中 α=√(μω/ħ)，C 为归一化常数。已知线性谐振子第 n 个定态波函数形如 ψₙ(x)=NₙHₙ(√α·x)e^(−αx²/2)，其能级为 Eₙ=(n+1/2)ħω。若对该状态进行能量测量，测得结果为 7ħω/2 的概率为____。

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8. 质量为 m、能量 E=V₀/4（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。已知衰减因子满足 κa=ln2，其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ。请求该粒子对此势垒的透射系数 T 和反射系数 R。

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9. 一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=8 eV，其余区域势能为 0。质量为 m 的粒子以能量 E=2 eV（E<V₀）自左侧入射。已知垒内波数 κ=1 nm⁻¹，势垒宽度 a=(1/2)ln6 nm，透射系数近似为 T=[16E(V₀−E)/V₀²]·e^(−2κa)。求该粒子的透射系数 T。

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10. 关于一维束缚定态，下列说法正确的是：若势场不随时间变化且粒子能量为负（相对无穷远处为零势），则其波函数在无穷远处的行为如何？A. 在无穷远处振荡不衰减　B. 在无穷远处指数衰减，波函数可归一化　C. 在无穷远处发散　D. 在无穷远处趋于任意非零常数

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11. 一维线性谐振子（势能为 1/2·μω²x²）处于状态 ψ(x) = C(2α²x² − 1)e^(−α²x²/2)，其中 α = √(μω/ħ)。若将该波函数用谐振子本征态展开，则粒子处于该态时测得能量的确定值为（　） A. ħω/2 B. 3ħω/2 C. 5ħω/2 D. 7ħω/2

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12. 某线性谐振子频率 ν=4×10¹³ Hz，取 h=6.6×10⁻³⁴ J·s。它在量子数 n=2 的能级的能量为 ____ J；该能级的波函数在经典允许区内共有 ____ 个节点。

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13. 一维线性谐振子处于基态与第一激发态的波函数分别为 ψ₀(x) = (α/π)^(1/4) e^(−αx²/2) 与 ψ₁(x) = √2·(α/π)^(1/4)·√α·x·e^(−αx²/2)，其中 α = mω/ħ。已知线性谐振子能级公式 E_n = (n + 1/2)ħω，n = 0, 1, 2, …。求该谐振子基态与第一激发态的能量 E₀ 和 E₁，并写出能级间隔 ΔE = E₁ − E₀。

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14. 一维线性谐振子能级为 E_n=(n+1/2)ħω（n=0,1,2,…）。已知某谐振子第一激发态与第二激发态的能量之差为 2 eV，则该谐振子基态能量为多少？ A. 2 eV　B. 4 eV　C. 1 eV　D. 3 eV

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15. 能量为 E=3 eV 的电子自左侧入射，遇到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=6 eV，其余区域势能为 0。已知 a=0.156 nm，电子质量 m 对应 ħ²/(2m)=0.0381 eV·nm²。求电子对该势垒的透射系数 T（在 e^{−2κa}≪1 的近似下，取 T=16E(V₀−E)/V₀²·e^{−2κa}，结果保留两位有效数字）。

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16. 一维线性谐振子的基态能量为 3 eV，频率为 ω。求：(1) 该谐振子的固有角频率对应的能级间隔 ħω；(2) 量子数 n=4 的能级能量（单位用 eV）。

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17. 粒子在一维无限深势阱（0≤x≤a，阱外势能为无穷大）中运动，处于第一激发态，波函数为 ψ(x)=√(2/a)·sin(2πx/a)。该状态下粒子出现在 x=a/2 处的概率密度为____，粒子出现在左半区间 0≤x≤a/2 内的概率为____。

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18. 质量为 m 的粒子以能量 E=2 eV 自左侧入射到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=8 eV，其余区域势能为 0。已知波函数在垒内的衰减因子 e^(−2κa)=1/4（其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ），则粒子透过该势垒的透射系数 T 最接近于 A. 1/4 B. 1/2 C. 3/4 D. 4/3

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19. 一维无限深势阱中，粒子被限制在区间 0≤x≤a 内，阱外势能为无穷大。已知粒子处于某激发定态，测得其能量为 E=9π²ℏ²/(2ma²)。由束缚定态能级公式 Eₙ=n²π²ℏ²/(2ma²)（n=1,2,3,…）可知，该态对应的主量子数 n=____，其能量是基态能量的____倍。

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20. 能量为 E=4 eV 的电子自左侧入射，遇到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=5 eV，其余区域势能为 0。已知 a=0.20 nm，电子质量 m=9.11×10⁻³¹ kg，ħ=1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV=1.6×10⁻¹⁹ J。请计算：求势垒区域内电子波函数的衰减系数 κ；求 2κa 的数值；由透射系数近似公式 T≈16E(V₀−E)/V₀² × e^(−2κa) 求该电子的透射系数（保留两位有效数字）。

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21. 一维方形势垒宽为 a，高为 V₀，电子能量 E<V₀ 自左侧入射。已知透射系数公式为 T = [16E(V₀−E)/V₀²]·e^(−2κa)，其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ。现取 E=2 eV，V₀=4 eV，且恰好 κa=1。则该电子的透射系数约为____（保留两位有效数字）。

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22. 质量为 m、能量 E=V₀/2（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。记 κ=√(2m(V₀−E))/ħ，k=√(2mE)/ħ，则透射系数 T 的表达式为（　） A. T = [1 + V₀²sinh²(κa)/(4E(V₀−E))]^(-1) B. T = [1 + V₀²sin²(κa)/(4E(V₀−E))]^(-1) C. T = 4kκ/(k+κ)² D. T = [1 + 4E(V₀−E)sinh²(κa)/V₀²]^(-1)

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23. 一粒子被束缚在一维无限深势阱（阱宽 a）中，已知其基态能量为 0.50 eV。若保持其他条件不变，将阱宽增大为原来的 2 倍，则新的基态能量为： A. 0.125 eV　B. 0.25 eV　C. 1.0 eV　D. 2.0 eV

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24. 质量为 m 的粒子以能量 E=1 eV 自左侧入射到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=4 eV，其余区域势能为 0。已知波函数在垒内的衰减使 e^(−2κa)=1/6，且透射系数近似公式为 T=[16E(V₀−E)/V₀²]·e^(−2κa)。则该粒子的透射系数 T 等于 A. 1/3　B. 3/16　C. 1/2　D. 1/6

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25. 一粒子被约束在一维无限深势阱（0<x<a）中，阱内势能为零，阱外势能为无穷大。已知阱宽为 a 时粒子的基态能量为 E₀。若保持粒子质量不变，将阱宽增大为 2a，则新的基态能量为____（用 E₀ 表示）。

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26. 一维线性谐振子（势能为 1/2·μω²x²）处于状态 ψ(x)=C(4αx²−2)e^(−αx²/2)，其中 α=μω/ħ。已知线性谐振子第 n 个定态波函数为 ψₙ(x)=NₙHₙ(√α·x)e^(−αx²/2)，其中 H₀(ξ)=1，H₁(ξ)=2ξ，H₂(ξ)=4ξ²−2。求：(1) 该状态对应的量子数 n；(2) 该状态的能量（用 ħω 表示）；(3) 该波函数在 x>0 区域内节点的位置坐标（用 μ、ω、ħ 表示）。

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27. 一维无限深势阱（0≤x≤a，阱外势能无穷大）中，质量为 m 的粒子处于基态，基态波函数为 ψ(x)=√(2/a)·sin(πx/a)，相应能量为 E₁=π²ℏ²/(2ma²)。若该粒子跃迁到第二激发态，则其定态能量为____（用 π、ℏ、m、a 表示）。

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