大学量子力学上册《表象与希尔伯特空间》练习题

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本单元考点（5 个）

狄拉克符号希尔伯特空间内积与完备性表象变换与幺正矩阵厄米算符与本征值坐标表象与动量表象

本单元练习题（27 题）

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1. 已知二维希尔伯特空间中幺正变换矩阵 U = (1/√2) [1, 1; 1, -1]，力学量算符在 A 表象中为 [0, 1; 1, 0]，则它在 B 表象（经 U 变换）中的对角元之和为（　） A. 1　B. 0　C. √2　D. -1

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2. 设粒子处于动量表象中的波函数为 φ(p) = (1/(π^(1/4)√p₀)) exp(−p²/(2p₀²))，其中 p₀>0 为常数，p 为动量本征值。已知 p₀ = 2（取适当单位使 ℏ 无量纲）。在此动量表象中直接计算力学量 p² 的期望值 ⟨p²⟩ = ∫ p²|φ(p)|² dp，其结果为： A. 1 B. 2 C. 4 D. 2√2

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3. 设粒子处于动量表象中的波函数 φ(p)=(α/πħ)^(1/4) exp(−αp²/(2ħ))，其中 α 为正常数。取 ħ 为约化普朗克常量。请利用傅里叶变换 ψ(x)=1/√(2πħ) ∫_{−∞}^{+∞} φ(p) e^(ipx/ħ) dp，将波函数变换到坐标表象，求出坐标表象波函数 ψ(x)（写成 exp(−x²/(2αħ)) 的形式），并计算坐标 x=0 处的概率密度 |ψ(0)|²。

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4. 设希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为一组正交归一基，态矢 |ψ⟩ = (3/5)|1⟩ + (4/5)|2⟩。利用基矢的正交归一性 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ，则标积 ⟨1|ψ⟩ = ____，态矢的模方 ⟨ψ|ψ⟩ = ____。

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5. 设粒子在动量表象中的波函数为 φ(p)=(1/(π^(1/4)√p₀)) exp(−p²/(2p₀²))，其中 p₀>0 为常数。已知坐标表象与动量表象之间通过傅里叶变换 ψ(x)=(1/√(2πħ))∫φ(p)e^(ipx/ħ)dp 相联系。求坐标表象中概率密度 |ψ(x)|² 降到其最大值一半处对应的 x 值。A. x=(ħ/p₀)√(ln2)　B. x=(ħ/p₀)ln2　C. x=(ħ/p₀)√(2ln2)　D. x=(ħ/p₀)√(ln2)/2

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6. 设厄米算符 A 的两个本征值为 1 和 3，对应的归一化本征矢分别为 |1⟩ 和 |3⟩。算符 F = 2A² - A 的本征值为多少？ A. 1 和 15 B. 1 和 3 C. 2 和 6 D. 4 和 12

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7. 设二维希尔伯特空间中 {|u⟩, |v⟩} 为一组正交归一基，即 ⟨u|u⟩ = ⟨v|v⟩ = 1，⟨u|v⟩ = 0。已知态矢 |ψ⟩ = (1/2)|u⟩ + (i√3/2)|v⟩。用狄拉克符号写出其共轭态矢 ⟨ψ|，则正确结果是 A. ⟨ψ| = (1/2)⟨u| + (i√3/2)⟨v| B. ⟨ψ| = (1/2)⟨u| − (i√3/2)⟨v| C. ⟨ψ| = (1/2)⟨v| − (i√3/2)⟨u| D. ⟨ψ| = (i√3/2)⟨u| − (1/2)⟨v|

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8. 在三维希尔伯特空间中取正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}。已知 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ + (2/3)|2⟩ + (2/3)|3⟩，|φ⟩ = (2/3)|1⟩ + (1/3)|2⟩ − (2/3)|3⟩。 (1) 验证 |ψ⟩ 与 |φ⟩ 均已归一化，并计算 ⟨ψ|φ⟩，说明二者是否正交； (2) 求 |χ⟩ = a|1⟩ + b|2⟩ + c|3⟩：要求其为与 |ψ⟩、|φ⟩ 都正交的单位矢量，且展开系数满足 a < 0（提示：可取与 (1,2,2) 和 (2,1,−2) 都垂直的方向）； (3) 检验 {|ψ⟩, |φ⟩, |χ⟩} 的完备性，即验证 ∑ |α⟩⟨α| = |1⟩⟨1| + |2⟩⟨2| + |3⟩⟨3|（α 取 ψ、φ、χ）。

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9. 设一维粒子处于坐标表象中的归一化波函数 ψ(x)=1/√a（x∈(0,a) 内），在 (0,a) 外 ψ(x)=0，其中 a>0 为常数。已知坐标表象与动量表象之间的傅里叶变换为 φ(p)=1/√(2πħ) ∫ψ(x)exp(−ipx/ħ)dx（积分限为 −∞ 到 +∞）。求该粒子在动量表象中的波函数 φ(p)，并验证归一化条件 ∫|φ(p)|²dp=1（对 p 从 −∞ 到 +∞）。

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10. 在希尔伯特空间 L²[0,1] 中定义内积 ⟨ψ|φ⟩ = ∫₀¹ ψ*(x)φ(x) dx。取两个态矢 ψ(x)=√3·x 与 φ(x)=2·x，则这两个矢量的内积 ⟨ψ|φ⟩ 与 φ 的模的平方 ⟨φ|φ⟩ 分别为多少？ A. ⟨ψ|φ⟩ = 2√3/3，⟨φ|φ⟩ = 4 B. ⟨ψ|φ⟩ = √3/2，⟨φ|φ⟩ = 4/3 C. ⟨ψ|φ⟩ = 2√3/3，⟨φ|φ⟩ = 4/3 D. ⟨ψ|φ⟩ = 1，⟨φ|φ⟩ = 4/3

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11. 已知幺正矩阵 U = (1/√2) [[1, i], [i, 1]] 实现从 A 表象到 B 表象的变换。若算符 F 在 A 表象中的矩阵为 F_A = [[0, 1], [1, 0]]，则 F 在 B 表象中的矩阵元 F_B 的第 1 行第 1 列元素为 ____。

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12. 设 {|1⟩, |2⟩} 为正交归一基矢，纯态 |ψ⟩ = (1/2)|1⟩ + (√3/2)e^{iπ/3}|2⟩，|φ⟩ = (1/√2)|1⟩ + (i/√2)|2⟩。利用狄拉克符号及基矢正交归一性 ⟨m|n⟩ = δ_{mn}，计算概率 |⟨φ|ψ⟩|² = ____。

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13. 设 {|1⟩, |2⟩, |3⟩} 为希尔伯特空间中一组正交归一基，态矢 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ − (2/3)|2⟩ + (2/3)|3⟩。由基矢的正交归一性 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ，可知 ⟨1|ψ⟩ = ____，⟨ψ|ψ⟩ = ____。

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14. 一维粒子处于坐标表象波函数 ψ(x)=(1/(πa²))^(1/4) exp(−x²/(2a²))，其中 a>0 为常数。通过傅里叶变换 φ(p)=1/√(2πħ) ∫_{−∞}^{+∞} ψ(x) exp(−ipx/ħ) dx 将其转换到动量表象。则动量表象中 p=0 处的概率密度 |φ(0)|² = ____（用 a 与 ħ 表示）。

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15. 设希尔伯特空间中 {|a⟩, |b⟩} 为一组正交归一基矢，⟨a|a⟩ = ⟨b|b⟩ = 1，⟨a|b⟩ = 0。已知态矢 |ψ⟩ = (1/3)|a⟩ + (2√2/3)|b⟩，则内积 ⟨a|ψ⟩ = ？ A. 1/3　B. 2√2/3　C. 1　D. 0

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16. 设二维希尔伯特空间中，从 A 表象到 B 表象的表象变换矩阵为 U = (1/2)[√3, 1; -1, √3]。（1）验证 U 满足 U†U = I，即为幺正矩阵；（2）已知算符 G 在 A 表象中的矩阵为 G_A = [2, 0; 0, 4]，求 G 在 B 表象中的矩阵 G_B = U†G_AU。

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17. 设粒子处于坐标表象中的一维波函数 ψ(x) = (1/π)^(1/4) exp(−x²/2)，以 ħ 为约化普朗克常量并取 ħ=1。在坐标表象中动量算符 p̂ = −i d/dx。则 p² 在该态上的平均值 ⟨p²⟩ 为（　　） A. 1/2　B. 1　C. 2　D. 3/2

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18. 设二维希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为一组正交归一基，即 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ。给定两个态矢：|ψ⟩ = (1/2)|1⟩ + (√3/2)e^{iπ/3}|2⟩，|φ⟩ = (1/2)|1⟩ + (√3/2)e^{−iπ/3}|2⟩。试用狄拉克符号按内积定义 ⟨φ|ψ⟩ = ∑ᵢ aᵢ* bᵢ（取 φ 系数取复共轭）计算内积 ⟨φ|ψ⟩，并求出其模方 |⟨φ|ψ⟩|²。

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19. 设矩阵 A = [[2, i], [-i, 2]]。（1）证明 A 是厄米算符（厄米矩阵）；（2）求 A 的全部本征值；（3）求每个本征值对应的归一化本征矢。

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20. 在希尔伯特空间中取一组正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}，满足 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ。按照狄拉克符号的完备性关系，恒等算符可写为 I = ∑ᵢ |i⟩⟨i|（求和遍历 i = 1, 2, 3）。由此，投影算符 P = |2⟩⟨2| 作用在基矢 |1⟩ 上，得 P|1⟩ = ____；而 P|2⟩ = ____。

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21. 在二维希尔伯特空间中，幺正矩阵 U = (1/√2)[[1, i], [-i, 1]] 实现从 A 表象到 B 表象的变换。已知力学量算符 F 在 A 表象中的矩阵为 F_A = [[3, 0], [0, 1]]，则 F 在 B 表象中的矩阵 F_B = U†F_AU = ____。

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22. 设 {|e₁⟩, |e₂⟩} 为希尔伯特空间中一组正交归一基，态矢 |ψ⟩ = (1/√5)|e₁⟩ + (2/√5)e^{iπ/4}|e₂⟩。用狄拉克符号写出其共轭态矢 ⟨ψ| = ____，并由此求得模方 ⟨ψ|ψ⟩ = ____。

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23. 在三维希尔伯特空间中取正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}。已知态矢量 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ + (2/3)|2⟩ + c|3⟩，其中 c 为实数。利用基的正交归一性求 c 的值，使 |ψ⟩ 满足归一化条件 ⟨ψ|ψ⟩ = 1，并求出态矢量 |φ⟩ = (1/√2)|1⟩ + (1/√2)|3⟩ 与该归一化后的 |ψ⟩ 的内积 ⟨φ|ψ⟩。

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24. 设二维希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为正交归一基，即 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ。给定态矢 |α⟩ = (1/√2)(|1⟩ + i|2⟩)，|β⟩ = (1/√2)(|1⟩ − |2⟩)。(1) 利用狄拉克符号写出 ⟨α| 和 ⟨β| 的表达式；(2) 计算内积 ⟨α|β⟩ 与 ⟨β|α⟩；(3) 求模方 |⟨α|β⟩|²。

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25. 设二维希尔伯特空间中，从 A 表象到 B 表象的表象变换矩阵为 U = (1/√5)[[2, i], [i, 2]]。（1）验证 U 满足 U†U = I，是幺正矩阵；（2）已知力学量算符 F 在 A 表象中的矩阵为 F_A = [[15, 5i], [-5i, 5]]，求 F 在 B 表象中的矩阵 F_B = U†F_AU；（3）利用求得的 F_B，验证迹不变性 tr(F_B) = tr(F_A)，以此检验计算结果。

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26. 已知厄米算符 A 的两个归一化本征态分别为 |φ₁⟩ 和 |φ₂⟩，对应本征值为 -2 和 4，且二者正交。设算符 F = A² - 3A + 2，则 F 在态 |φ₁⟩ 上的本征值为____。

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27. 二维希尔伯特空间中，B 表象的基矢在 A 表象中的坐标列组成矩阵 U=(1/5)[[3, -4], [4, 3]]。某归一化态在 A 表象中的坐标为 c_A=(1, 2)^T/√5。约定 c_A=U c_B，则该态在 B 表象中的坐标 c_B 是： A. (11, 2)^T/(5√5)　B. (-5, 10)^T/(5√5)　C. (3, 14)^T/(5√5)　D. (11, 2)^T/5

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