大学量子力学上册《全同粒子与交换对称性》练习题

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本单元考点（5 个）

全同粒子的不可区分性波函数的交换对称性费米子与玻色子泡利不相容原理交换简并与对称化波函数

本单元练习题（27 题）

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1. 两个自旋被忽略的全同费米子分别占据单一粒子轨道 φa(r) 与 φb(r)，已知 φa、φb 相互正交且各自归一。下列表达式中，能作为该体系总空间波函数且已正确归一化的是：A. (1/2)[φa(r₁)φb(r₂) − φa(r₂)φb(r₁)]　B. (1/√2)[φa(r₁)φb(r₂) − φa(r₂)φb(r₁)]　C. (1/√2)[φa(r₁)φb(r₂) + φa(r₂)φb(r₁)]　D. φa(r₁)φb(r₂)

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2. 两个自旋1/2的全同费米子分别占据彼此正交的单粒子态 φ₁ 和 φ₂。体系的反对称化波函数可写为 Ψ_A = C[φ₁(1)φ₂(2) − φ₂(1)φ₁(2)]。若 Ψ_A 已归一化，则系数 C = ____；若将这两个粒子换成自旋为0的全同玻色子，对称化波函数中对应项前的符号应改为 ____（填“+”或“−”）。

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3. 三个自旋被忽略的全同费米子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa(r)、φb(r)、φc(r)。体系的空间波函数取反对称形式：Ψ_A(r1,r2,r3) = c·∑_P (−1)^P φ_P(1)(r1)φ_P(2)(r2)φ_P(3)(r3)，其中求和遍及粒子标号 (1,2,3) 的全部 3! = 6 种置换 P，(−1)^P 为置换的奇偶符号。请填写：(1) 归一化常数 c = ____；(2) 将粒子 1 与粒子 2 交换后，新波函数等于 ____ × Ψ_A（填入交换系数，只能是 1 或 −1）。

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4. 三个全同电子组成的三粒子体系，其波函数为 Ψ(r₁,r₂,r₃)。将粒子坐标作交换 (r₁,r₂,r₃)→(r₂,r₁,r₃)。按照全同粒子不可区分性原理，写出交换后体系波函数 Ψ(r₂,r₁,r₃) 与 Ψ(r₁,r₂,r₃) 之间应满足的关系，并说明该关系所反映的物理含义。

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5. 两个全同费米子组成体系，单粒子归一化波函数 φ_a 与 φ_b 不正交，重叠积分 ⟨φ_a|φ_b⟩=S=1/2（为实数）。体系的反对称波函数取 Ψ(q₁,q₂)=C[φ_a(q₁)φ_b(q₂)−φ_a(q₂)φ_b(q₁)]，其中 C 为归一化常数。（1）利用全同粒子波函数必须满足的归一化条件 ⟨Ψ|Ψ⟩=1，求 C；（2）利用该波函数验证：交换两个粒子的全部坐标 q₁↔q₂ 时 Ψ 变为 −Ψ，并说明全同粒子波函数交换对称性质与归一化是否依赖于对粒子的编号约定。

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6. 两个全同玻色子组成体系，归一化的单粒子态为 φ₁ 和 φ₂，且 ⟨φ₁|φ₂⟩ = 1/2。由全同粒子的不可区分性，体系波函数必须构造为对称形式 ψ(x₁,x₂) = A[φ₁(x₁)φ₂(x₂) + φ₂(x₁)φ₁(x₂)]，其中 A 为归一化常数。求 A 的平方（即归一化系数 A²），结果用分数表示。

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7. 两个全同粒子组成的体系，其单粒子归一化波函数分别为 ψ_a(x) 和 ψ_b(x)，且 ψ_a 与 ψ_b 相互正交。若两粒子均为自旋为零的玻色子，试写出体系归一化的对称化两粒子波函数 Ψ_S(x₁,x₂)，并说明当 x₁=x₂=x 时该波函数是否为零；若两粒子改为电子（费米子，忽略自旋自由度），写出对应的反对称化波函数 Ψ_A(x₁,x₂) 及其在 x₁=x₂ 处的值，并由此指出体现了什么原理。

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8. 三个全同光子（自旋为1的玻色子）分别占据三个单粒子归一化态 φ₁、φ₂、φ₃，且三者彼此正交。若体系的总波函数为 Ψ(q₁,q₂,q₃)，按照全同粒子不可区分性的要求，将坐标交换 (q₁,q₂,q₃)→(q₃,q₂,q₁) 后，下列关于 Ψ(q₃,q₂,q₁) 的说法唯一正确的是： A. Ψ(q₃,q₂,q₁) = −Ψ(q₁,q₂,q₃) B. Ψ(q₃,q₂,q₁) = Ψ(q₁,q₂,q₃)，且可写为 Slater 行列式形式 C. Ψ(q₃,q₂,q₁) = Ψ(q₁,q₂,q₃)，且可写为三个单粒子态乘积的对称组合形式 D. Ψ(q₃,q₂,q₁) 与 Ψ(q₁,q₂,q₃) 之间没有任何确定关系，因为光子占据的态不同

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9. 三个自旋被忽略的全同玻色子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa(r)、φb(r)、φc(r)。体系的对称空间波函数写为 Ψ_B(r₁,r₂,r₃)=C·∑P φa(r_{P(1)})φb(r_{P(2)})φc(r_{P(3)})，其中求和遍历3!种排列，C为归一化常数。由于各轨道相互正交，6项彼此正交，每一项模方积分为1，故由归一化条件 |C|²×6=1 得 |C|=____；交换任意两个粒子坐标时，Ψ_B____（填"不变"或"变号"）。

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10. 设有三个彼此正交的单粒子态 φ₁、φ₂、φ₃，两个全同玻色子只能占据这些态。交换对称性要求两粒子波函数在交换 1↔2 时完全不变。问：由这三个单粒子态共可构造多少个线性无关的、完全对称化的两玻色子基矢（对称化积态）？ A. 3　B. 4　C. 6　D. 9

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11. 某原子中有两个电子，单粒子态（含自旋）分别为 φ_a = u₁(x)α（α 表示自旋向上）与 φ_b = u₂(x)β（β 表示自旋向下）。请依据泡利不相容原理完成：(1) 判断这两个电子占据 φ_a 与 φ_b 是否违反泡利不相容原理，并说明理由；(2) 写出描述该两电子体系总波函数的 Slater 行列式形式。

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12. 标记为1、2的两个全同粒子，设 P(x,y) 表示标记1在位置 x、标记2在位置 y 的联合概率。若 P(x,y)=0.4 且 P(y,x)=0.7，则这组数据是否满足全同粒子不可区分性？___

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13. 两个自旋为 1/2 的全同电子分别处于一维势阱中的不同单粒子态上，物理上可以区分这两个电子的位置吗？下列说法正确的是：A. 可以区分，因为电子带同种电荷但自旋可能不同 B. 可以区分，只要给两个电子分别编号为 1 和 2 即可 C. 不能区分，全同粒子体系波函数须满足交换对称性（费米子为交换反对称），编号无物理意义 D. 不能区分，因为海森堡不确定性原理禁止同时确定两个粒子的位置

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14. 两个全同粒子组成体系，单粒子态为 φ_a 和 φ_b。下列关于体系总波函数ψ(q₁,q₂)的说法中，正确的是： A. 粒子不可区分，故交换坐标后 ψ(q₁,q₂)=ψ(q₂,q₁) 必须对所有粒子成立 B. 交换两个粒子坐标时，玻色子体系波函数不变号，费米子体系波函数变号，即 ψ(q₂,q₁)=±ψ(q₁,q₂) C. 全同粒子的不可区分性意味着 ψ(q₁,q₂) 与 ψ(q₂,q₁) 是两个完全无关的不同状态 D. 不可区分性只要求 |ψ(q₁,q₂)|² = |ψ(q₂,q₁)|²，对玻色子和费米子都只能取正号

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15. 两个全同粒子体系的波函数为 ψ(r₁,r₂)。在交换算符 P₁₂ 作用下有 P₁₂ψ(r₁,r₂)=ψ(r₂,r₁)。若体系由两个自旋为0的玻色子组成，波函数必须满足交换对称性，即 P₁₂ψ=____ψ；若由两个自旋1/2的费米子组成（不计自旋波函数），则波函数必须满足 P₁₂ψ=____ψ。

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16. 设三个自旋被忽略的全同费米子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa、φb、φc。反对称化波函数写为 Ψ(r₁,r₂,r₃)=C·∑P (−1)^P φa(r_P(1))φb(r_P(2))φc(r_P(3))，其中求和遍历指标 (1,2,3) 的全部 3! 种排列 P，(−1)^P 为排列的奇偶性符号。(1) 说明每种排列对应的乘积项之间两两正交；(2) 利用归一化条件 ∫|Ψ|² d³r₁d³r₂d³r₃=1 求出常数 C（取正实数）；(3) 写出交换算符 P₁₃ 作用后 P₁₃Ψ 的表达式并指出其符号因子。

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17. 三个自旋1/2的费米子处于三个彼此正交归一的单粒子态 φa、φb、φc 上。（1）写出描述该体系总波函数的 Slater 行列式形式，并求出行列式前的归一化系数。（2）该行列式展开后共有多少项？（3）若交换其中两个粒子的坐标（例如 x₁ 与 x₂ 互换），说明波函数如何变化，并据此判断体系波函数所满足的交换对称性类型。

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18. 两个自旋 1/2 的电子处于同一原子中，用包含自旋的单粒子态 ψ(x, 自旋) 描述。依据泡利不相容原理，下列哪种情形是允许的？A. 两个电子占据同一个单粒子态 ψₐ　B. 两个电子分别占据单粒子态 ψₐ 与 ψ_b（ψ_a≠ψ_b）　C. 三个电子占据同一个单粒子态 ψₐ　D. 泡利不相容原理不允许任何两个电子处于同一原子中

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19. 三个全同自旋零费米子分别占据彼此正交的归一化单粒子态 φ₁、φ₂、φ₃，体系的反对称化波函数写为 Ψ_A = C·∑_P (−1)^P φ_{P(1)}(1)φ_{P(2)}(2)φ_{P(3)}(3)，其中 P 遍历 (1,2,3) 的全部置换。求归一化常数 C = ____，以及交换简并度（即交换粒子标签所能得到的线性独立物理态数目）= ____。

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20. 三个全同粒子分别处于三个彼此正交归一的单粒子态 φ_a、φ_b、φ_c 上。若它们是自旋为 0 的玻色子，体系总波函数须写成对称化形式 Ψ_B = C₁ Σ_P P[φ_a(1)φ_b(2)φ_c(3)]（P 遍历 3! 种置换），则归一化系数 C₁ = ____；若它们是自旋 1/2 的费米子，体系总波函数须写成 Slater 行列式形式 Ψ_F = C₂·det[φ_a(1) φ_b(2) φ_c(3)]（此处每个 φ_i 已含自旋部分），则归一化系数 C₂ = ____。

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21. 两个全同粒子组成的体系，波函数为 ψ(r₁,r₂)。定义交换算符 P₁₂，使 P₁₂ψ(r₁,r₂)=ψ(r₂,r₁)。设 ψ(r₁,r₂) 是 P₁₂ 的本征态，对应的本征值为 λ。问：由两个全同玻色子组成的体系，其波函数对应的 λ 应为多少？　A. λ=−1　B. λ=0　C. λ=+1　D. λ 可以取任意实数

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22. 两个自旋被忽略的全同费米子分别占据正交归一的单粒子轨道 φa 与 φb，体系空间波函数为 Ψ(r₁,r₂)=(1/√2)[φa(r₁)φb(r₂)−φb(r₁)φa(r₂)]。(1) 验证交换算符 P₁₂ 作用于 Ψ 满足 P₁₂Ψ=λΨ，写出本征值 λ；(2) 计算两粒子出现在空间同一点（即 r₁=r₂=r）的概率密度 |Ψ(r,r)|²，并据此说明该结果体现的物理原理。

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23. 三个全同玻色子分别占据彼此正交的归一化单粒子态 φ₁、φ₂、φ₃（各占一个）。由交换对称性，体系总波函数须写成对称化形式 Ψ_S = C·∑_P φ_{P(1)}(1)φ_{P(2)}(2)φ_{P(3)}(3)，其中 ∑_P 对 1、2、3 的全部 3! 种置换求和。利用各单粒子态的正交归一性，求归一化常数 C（取正实数）。 A. 1/6　B. 1/√6　C. 1/√3　D. 1/3

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24. 全同粒子体系中，自旋为 1/2 的电子是____子，其体系总波函数在交换任意两个粒子时须变为原来的____号；自旋为 0 的 π 介子是____子，其体系总波函数在交换任意两个粒子时保持____。

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25. 两个自旋 1/2 的全同电子构成一个体系，其总体波函数由空间部分 Ψ(r₁,r₂) 与自旋部分 χ(s₁,s₂) 之积构成。已知自旋部分 χ 为对称自旋三重态。依据泡利不相容原理及全同费米子波函数的交换性质，下列哪一说法正确？ A. 空间部分取对称态即可，因为交换能的存在保证总波函数合法 B. 空间部分必须取反对称态，使总波函数在交换两电子时整体变号 C. 只要两个电子自旋平行，空间部分可任意取对称或反对称 D. 泡利不相容原理只限制两个电子不能占据同一能级，对波函数的交换对称性没有要求

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26. 设有三个彼此正交归一的单粒子空间态 φ₁、φ₂、φ₃，两个全同粒子只能处于这三个态之一（不计自旋自由度）。（1）若该两粒子为自旋 0 的玻色子，体系可实现的独立两粒子态数目为 ____；（2）若该两粒子为自旋 1/2 的费米子（不考虑自旋态简并，即只计空间部分），由泡利不相容原理限制，体系可实现的独立两粒子态数目为 ____。

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27. 三个全同玻色子组成体系，单粒子归一化态 φ_a 与 φ_b 彼此正交，其中两个玻色子处于 φ_a 态，一个处于 φ_b 态。依据全同粒子的不可区分性，体系总波函数须写成对称形式 Ψ(q₁,q₂,q₃)=N∑_P P[φ_a(q₁)φ_a(q₂)φ_b(q₃)]，求和遍及所有不同排列。(1) 求归一化常数 N；(2) 对任一指定粒子（如 q₁）测量，求其处于 φ_a 态的概率，并说明该概率对三个粒子为何相同。

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