波函数的交换对称性 — 物理计算题

设三个自旋被忽略的全同费米子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa、φb、φc。反对称化波函数写为 Ψ(r₁,r₂,r₃)=C·∑P (−1)^P φa(r_P(1))φb(r_P(2))φc(r_P(3))，其中求和遍历指标 (1,2,3) 的全部 3! 种排列 P，(−1)^P 为排列的奇偶性符号。(1) 说明每种排列对应的乘积项之间两两正交；(2) 利用归一化条件 ∫|Ψ|² d³r₁d³r₂d³r₃=1 求出常数 C（取正实数）；(3) 写出交换算符 P₁₃ 作用后 P₁₃Ψ 的表达式并指出其符号因子。