登录

大学量子力学上册《量子力学基本假设》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

需要完整试卷（量子力学上册《量子力学基本假设》单元测试卷）？

按本单元考点 AI 生成整卷：正卷 + 答案页 + 逐题解析，PDF 精排 / Word 可编辑 / 打印装订寄到家。

生成完整试卷 →

本单元考点（5 个）

波函数公设算符公设与对应原理测量公设与期望值薛定谔方程公设态叠加原理

本单元练习题（27 题）

计算题 ★ 精品 详情 →

1. 某二能级量子体系的哈密顿量为 H，其本征态 |E₁⟩、|E₂⟩ 对应能量本征值 E₁=ħω、E₂=4ħω（ω>0）。设 t=0 时体系处于态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+|E₂⟩)/√2。按薛定谔方程公设，态矢随时间按 |ψ(t)⟩=e^(−iHt/ħ)|ψ(0)⟩ 演化。求：(1) 写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 体系在 t>0 时首次演化到与初始态 |ψ(0)⟩ 仅相差一个整体相位因子的最小时间 t_min；(3) 此刻体系处于本征态 |E₂⟩ 的概率。

登录查看答案

选择题 ★ 精品 详情 →

2. 某二能级体系哈密顿量 H 的本征态为 |E₁⟩、|E₂⟩，本征值分别为 E₁=0、E₂=3ħω（ω>0）。t=0 时体系处于态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+2|E₂⟩)/√5。按薛定谔方程公设演化，t=π/(3ω) 时的态矢为（忽略全局相位）： A. (|E₁⟩+2|E₂⟩)/√5　B. (|E₁⟩+2i|E₂⟩)/√5　C. (|E₁⟩−2|E₂⟩)/√5　D. (2|E₁⟩−|E₂⟩)/√5

登录查看答案

选择题 详情 →

3. 设 |ψ₁⟩ 与 |ψ₂⟩ 是某量子体系的两个归一化且相互正交的态矢，则态 |Ψ⟩ = (1/2)|ψ₁⟩ + (√3/2)|ψ₂⟩ 也必然是该体系的一个可能状态。这一结论所依据的基本假设是：A. 测量公设　B. 态叠加原理　C. 全同性原理　D. 微观体系动力学演化方程（薛定谔方程）

登录查看答案

选择题 详情 →

4. 某微观体系处于能量本征态 |ψ(0)⟩，对应能量本征值 E₀=3ħω（ω>0）。按薛定谔方程公设，态随时间演化为 |ψ(t)⟩=e^(−iE₀t/ħ)|ψ(0)⟩。则当 t=2π/ω 时，相位因子 e^(−iE₀t/ħ) 的值为 A. 1　B. −1　C. e^(−i2π/3)　D. e^(−i4π/3)

登录查看答案

选择题 详情 →

5. 设算符 Q 在某组力学量完全集的共同本征态 |φ₁⟩、|φ₂⟩、|φ₃⟩ 下的本征值分别为 1、2、3，系统处于归一化态 |ψ⟩ = (1/3)|φ₁⟩ + (2/3)|φ₂⟩ + c|φ₃⟩。由波函数公设，态的归一化条件要求各展开系数模方之和为 1，则 |c|² 及对 Q 测量得 3 的概率分别为（　） A. 2/3，4/9 B. 2/3，2/3 C. 4/9，4/9 D. 4/9，8/9

登录查看答案

填空题 详情 →

6. 设力学量算符 A 在某组基下仅有两个本征态 |a₁⟩、|a₂⟩，本征值分别为 1 和 3。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (√3)|a₁⟩ + |a₂⟩。按测量公设，对 A 进行一次测量，测得值为 3 的概率为 ____；对处于该态的大量全同体系重复测量 A，所得平均值 ⟨A⟩ = ____。

登录查看答案

填空题 详情 →

7. 按量子力学算符公设，坐标算符 x 与动量算符 p 满足正则对易关系 [x,p]=xp−px=iħ（ħ 为约化普朗克常量）。利用该对易关系可推出算符多项式与动量的对易规则：[x²,p]=x[x,p]+[x,p]x。由此计算对易子 [x²,p] 等于 ____（用 x、ħ 表示），进而比值 [x²,p]/(iħ) 等于 ____（用 x 表示）。

登录查看答案

计算题 详情 →

8. 一维微观粒子处于状态 Ψ(x) = A·sin(πx/a)（0 ≤ x ≤ a），在区域外 Ψ(x)=0，其中 a 为已知常数，A 为归一化常数。根据波函数公设，求：(1) 归一化常数 A；(2) 粒子在区间 [0, a/2] 内出现的概率。

登录查看答案

计算题 详情 →

9. 根据量子力学算符公设与对应原理，经典力学量 f(x,p) 对应算符 f(x̂,p̂)，且正则对应关系为 [x̂,p̂]=iħ。设某体系的哈密顿算符为 Ĥ = p̂²/(2m) + V(x̂)，其中 V(x) 为势函数。试利用对易关系 [x̂,p̂]=iħ 计算 [x̂,Ĥ]，并指出所得结果与经典对应原理下 dx/dt = p/m 的对应关系，写出 [x̂,Ĥ]/(iħ) 的表达式。

登录查看答案

填空题 详情 →

10. 设力学量算符 F 的本征值 ψ₁、ψ₂ 对应的归一化本征态分别为 |ψ₁⟩ 和 |ψ₂⟩，二者相互正交。体系处于叠加态 |Ψ⟩ = c₁|ψ₁⟩ + c₂|ψ₂⟩，其中 c₁、c₂ 为复数。已知测量 F 得到 ψ₁ 的概率为 3/4，且规定叠加系数 c₁ 取正实数，则 c₁ = ____。

登录查看答案

计算题 详情 →

11. 设某微观体系的哈密顿量 H 的一个本征态为 |φ⟩，对应本征能量 E₀=2ħω（ω>0）。根据量子力学基本假设中的薛定谔方程 iħ∂|ψ(t)⟩/∂t=H|ψ(t)⟩，若 t=0 时体系处于态 |ψ(0)⟩=|φ⟩，求 t 时刻体系的状态 |ψ(t)⟩，并说明该态是否仍为 H 的本征态。

登录查看答案

计算题 详情 →

12. 微观粒子处于状态 Ψ(x) = A·x(a−x)（0 ≤ x ≤ a），在区间外 Ψ(x) = 0，其中 a 为已知正常数。根据波函数公设，波函数必须满足归一化条件 ∫|Ψ(x)|²dx = 1。（1）求归一化常数 A；（2）求粒子在区间 [0, a/2] 内出现的概率，并用有限小数表示。

登录查看答案

选择题 详情 →

13. 按薛定谔方程公设，定态能量本征态的时间演化仅积累相位因子。设某体系处于能量本征态，本征值 E=2ħω（ω>0），初态为 |ψ(0)⟩，则态随时间演化为 |ψ(t)⟩=e^(−iE t/ħ)|ψ(0)⟩。若要求演化到某时刻 t 时，该相位因子恰好等于 −1（即相位为 π 的奇数倍），则在 0<t≤π/ω 范围内，满足条件的最早时刻为：A. π/(2ω)　B. π/ω　C. π/(4ω)　D. 2π/ω

登录查看答案

填空题 详情 →

14. 设力学量算符 A 的本征态 |a₁⟩、|a₂⟩ 对应本征值 −1 和 2。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/2)|a₁⟩ + (√3/2)|a₂⟩。按测量公设，单次测量 A 得值为 2 的概率为 ____，测量 A 的期望值为 ____。

登录查看答案

填空题 详情 →

15. 设一维微观粒子处于状态 Ψ(x) = A·e^(−x²/(2a²))，x ∈ (−∞, +∞)，其中 a > 0 为已知常数，A 为正实数。根据波函数公设，粒子必须满足归一化条件 ∫|Ψ(x)|²dx = 1，且 |Ψ(x)|² 表示粒子在 x 处出现的概率密度。已知积分公式 ∫e^(−x²/a²)dx = a√π。则归一化常数 A = ____，粒子在 x = 0 处出现的概率密度 |Ψ(0)|² = ____。

登录查看答案

计算题 详情 →

16. 设厄米算符 F 有三个彼此正交的归一化本征态 |ψ₁⟩、|ψ₂⟩、|ψ₃⟩，对应本征值分别为 E₁、E₂、E₃。体系处于态 |Ψ⟩ = (1/3)|ψ₁⟩ + (2/3)|ψ₂⟩ + c|ψ₃⟩，其中 c 为正实数。第一问：利用态叠加原理对归一化的要求，求 c 的值；第二问：对该体系测量力学量 F，求测得本征值为 E₃ 的概率。

登录查看答案

选择题 详情 →

17. 设力学量算符 A 的本征态 |a₁⟩、|a₂⟩ 对应本征值分别为 1 和 3。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/2)|a₁⟩ + (√3/2)|a₂⟩。按测量公设，对 A 进行一次测量，得到结果 3 的概率与 A 的期望值 ⟨A⟩ 分别为（　） A. 3/4，2 B. 1/4，5/2 C. 3/4，7/4 D. 3/4，5/2

登录查看答案

填空题 详情 →

18. 设力学量算符 A 在某组正交归一基下仅有两个本征态 |a₁⟩、|a₂⟩，本征值分别为 2 和 6。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√3)|a₁⟩ + √(2/3)|a₂⟩。按测量公设，对处于 |ψ⟩ 的体系测量 A，得到结果 6 的概率为 ____；若进行多次相同测量，A 的期望值 <A> = ____。

登录查看答案

填空题 详情 →

19. 设力学量算符 A 的本征态 |a₁⟩、|a₂⟩ 对应本征值分别为 0 和 5。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√5)|a₁⟩ + (2/√5)|a₂⟩。按测量公设，对态 |ψ⟩ 测量力学量 A，得到结果 5 的概率为 ____，测量值的期望值为 ____。

登录查看答案

填空题 详情 →

20. 设力学量算符 A 的本征态 |a₁⟩、|a₂⟩ 对应本征值分别为 −2 和 4。体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/3)|a₁⟩ + (2√2/3)|a₂⟩。按测量公设，对处于该态的体系测量 A，测得值为 −2 的概率为____；测量 A 的期望值 ⟨A⟩ = ____。

登录查看答案

填空题 详情 →

21. 设 |φ₁⟩ 与 |φ₂⟩ 是某量子体系的两个归一化且相互正交的态矢。体系处于叠加态 |Ψ⟩ = c₁|φ₁⟩ + c₂|φ₂⟩，且 |c₁| = 1/3。若要求 |Ψ⟩ 已归一化，则 c₂ 的模 |c₂| = ____。由态叠加原理，|Ψ⟩ 也是该体系的一个可能状态，测量后体系处于 |φ₁⟩ 态的概率为 ____。

登录查看答案

计算题 详情 →

22. 设某二能级量子体系的两个归一化且相互正交的态矢为 |φ₁⟩ 与 |φ₂⟩。体系处于叠加态 |Ψ⟩ = (1/√5)|φ₁⟩ + (2i/√5)|φ₂⟩。请求出 |Ψ⟩ 的归一化验证，并计算体系处于 |φ₁⟩ 态和处于 |φ₂⟩ 态的概率各是多少。

登录查看答案

计算题 详情 →

23. 某二能级微观体系的哈密顿量 H 的本征态为 |E₁⟩、|E₂⟩，对应能量本征值分别为 E₁=0、E₂=5ħω（ω>0）。t=0 时体系处于归一化态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+3|E₂⟩)/√10。请根据薛定谔方程公设：(1) 写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 求使 |ψ(t)⟩ 与初态 |ψ(0)⟩ 相差一个整体相位因子的最小正时刻 t₀（用 ω 表示）。

登录查看答案

计算题 详情 →

24. 设某二能级量子体系的哈密顿量 H 的本征态为 |E₁⟩、|E₂⟩，对应能量本征值 E₁=0、E₂=2ħω（ω>0）。t=0 时体系处于归一化态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+|E₂⟩)/√2。(1) 根据薛定谔方程公设 iħ∂|ψ(t)⟩/∂t=H|ψ(t)⟩，写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 求 t>0 时体系首次回到初态 |ψ(0)⟩ 的时刻。

登录查看答案

选择题 详情 →

25. 根据量子力学算符公设与对应原理，物理量在量子力学中用线性厄米算符表示，且坐标算符 x 与动量算符 p 满足正则对应关系 [x,p]=iħ。下列关于算符公设与对应原理的表述中，正确的是哪一项？ A. 任意力学量对应的算符都必须是厄米算符，因为测量结果（本征值）必须是实数 B. 对应原理要求经典量 f(x,p) 中的 x 与 p 在算符化后可以对易 C. 动量算符 p 的本征值可以取任意复数 D. 算符公设允许用任意非奇函数替换力学量算符而不改变物理意义

登录查看答案

选择题 详情 →

26. 已知 |φ₁⟩ 与 |φ₂⟩ 是某量子体系的两个归一化且相互正交的态矢。根据态叠加原理，二者的线性叠加 c₁|φ₁⟩ + c₂|φ₂⟩ 也是体系的一个可能状态；若要求该叠加态本身归一化，则系数须满足 |c₁|² + |c₂|² = 1。下列哪一组系数所构成的叠加态是归一化的？ A. c₁ = 1/2，c₂ = √3/2　B. c₁ = 1/2，c₂ = 1/2　C. c₁ = 2/3，c₂ = 2/3　D. c₁ = 1/3，c₂ = √7/3

登录查看答案

选择题 详情 →

27. 根据量子力学算符公设与对应原理，坐标算符 x 与动量算符 p 满足正则对易关系 [x,p]=xp−px=iħ。设力学量算符 F=(1/3)(x²p+p x²)。利用对易关系逐项计算 [F,x]=F x−x F，其结果为：A. −(2/3)iħx²　B. −iħx²　C. (2/3)iħx²　D. −(1/3)iħx²

登录查看答案

量子力学其他单元练习题

波函数与薛定谔方程（27题）一维定态问题（27题）表象与希尔伯特空间（27题）角动量理论（27题）中心力场（27题）自旋与泡利矩阵（27题）全同粒子与交换对称性（27题）定态微扰论（27题）含时微扰与跃迁（9题）散射理论（27题）

题目由 AI 对照课标原创生成并经机审+人审，如发现质量问题可 联系我们。