大学量子力学上册《自旋与泡利矩阵》练习题

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本单元考点（5 个）

电子自旋假设泡利矩阵及其性质自旋态与自旋算符自旋轨道耦合概念塞曼效应简介

本单元练习题（27 题）

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1. 处于弱磁场中的类氢原子，某价电子从 l=1 态向 l=0 态跃迁（不计自旋，即正常塞曼效应）。磁场方向沿 z 轴，磁感应强度 B=1 T，玻尔磁子 μ_B≈5.8×10⁻⁵ eV/T，微扰能移为 ΔE=m_l μ_B B（m_l=-l,…,l）。问跃迁谱线总共劈裂为几条，且相邻谱线的能量间隔为多少？ A. 3 条，间隔 5.8×10⁻⁵ eV B. 2 条，间隔 1.16×10⁻⁴ eV C. 3 条，间隔 1.16×10⁻⁴ eV D. 5 条，间隔 5.8×10⁻⁵ eV

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2. 已知泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σi²=I 且 σxσy+σyσx=0（I 为二阶单位矩阵）。设 A = σx + 2σy，则 A² = ____（用 I 表示）。

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3. 根据乌伦贝克与古兹密特的电子自旋假设，电子自旋量子数 s=1/2，自旋角动量大小 S=√(s(s+1))ħ，而自旋在任一方向的投影 S_z=msħ（m=±1/2）。若某态中测得电子自旋沿 z 方向投影为 S_z=ħ/2，则该方向自旋投影与其角动量大小之比 S_z/S 等于多少？A. 1/2　B. 1/√3　C. √3/2　D. 1

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4. 已知二阶泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σxσy = iσz，且 σz² = I（I 为二阶单位矩阵）。求 (σxσy)² 的值。

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5. 在正常塞曼效应中，某原子谱线在垂直于磁场方向观察时分裂为三个等间距分量；若改为沿磁场方向观察，则只能看到____。

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6. 某原子在无外磁场时发出一条频率为 ν₀ 的谱线。将该原子置于磁感应强度 B=2 T 的匀强磁场中（不计自旋，属正常塞曼效应），谱线沿垂直于磁场方向观察分裂为三个分量，相邻两分量的频率间隔相等。已知玻尔磁子 μ_B=9.27×10⁻²⁴ J/T，普朗克常量 h=6.63×10⁻³⁴ J·s。则相邻两分裂分量之间的频率间隔 Δν=____ Hz（结果保留两位有效数字）。

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7. 设电子自旋态为 |ψ⟩ = (1/2)|↑⟩ + (√3/2)|↓⟩，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 的本征态，本征值分别为 +1、−1。已知泡利矩阵 σx = ((0,1),(1,0))，σy = ((0,−i),(i,0))，σz = ((1,0),(0,−1))。(1) 写出 |ψ⟩ 在 σz 表象中的列向量表示并归一化验证；(2) 计算 ⟨σx⟩、⟨σy⟩、⟨σz⟩；(3) 求自旋矢量 ⟨S⟩ = (ħ/2)⟨σ⟩ 的大小 |⟨S⟩|。

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8. 已知泡利矩阵 σx 满足 σx² = I（二阶单位矩阵），且 σx = [[0,1],[1,0]]。则矩阵 A = 2σx 的平方 A² 等于（　　） A. 2I　B. 4I　C. I　D. 4σx

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9. 设 n = (1/√3)(x̂ + ŷ + ẑ) 为单位矢量，σ = (σx, σy, σz) 为泡利矩阵，算符 A = σ·n = (σx + σy + σz)/√3。利用泡利矩阵的性质 (σ·n)² = I，则算符 A 的两个本征值中较小的一个为（　） A. -1/√3 B. 0 C. -1/2 D. -1

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10. 电子自旋与轨道角动量之间的耦合称为____耦合，其物理来源是电子在原子核的电场中运动时，在其自身静止参考系中感受到磁场，从而与自旋磁矩发生相互作用。这种耦合项通常正比于自旋角动量与轨道角动量的____积。

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11. 乌伦贝克与古兹密特提出的电子自旋假设指出：电子具有自旋角动量 S，其自旋量子数 s=____，因此 S 的z分量 S_z 只能取____个不同的值，这直接解释了斯特恩–盖拉赫实验中银原子束分裂为两束的现象。

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12. 已知电子自旋算符 σ̂z 的本征态为 |↑⟩ = (1, 0)^T 和 |↓⟩ = (0, 1)^T。设某电子的自旋态为 |ψ⟩ = (1/√3)|↑⟩ + (√2/√3)|↓⟩。求在该态下测量自旋 z 分量得到 +ħ/2 的概率，以及自旋算符 σ̂z 在该态的平均值 ⟨σ̂z⟩。

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13. 已知泡利矩阵 σx、σy、σz 满足反对易关系 σiσj+σjσi=2δijI（I 为二阶单位矩阵）。设 A=σx+σy，则 A²=____；又设 B=σz+σy，则 B²=____。

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14. 电子自旋假设指出：电子具有内禀角动量（自旋），其自旋量子数 s=1/2，自旋总角动量大小为 S=√(s(s+1))ħ，而自旋在任一方向上的投影只能取 Sz=msħ，ms=±1/2。据此：(1) 写出电子自旋角动量大小 S（以 ħ 为单位）；(2) 求自旋投影的最大值 |Sz|max 与自旋角动量大小 S 之比，并将该比值化简为最简形式 √b/a 或 a√b/a 的等价最简分数形式。

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15. 设电子自旋态为 |χ⟩ = (√3|↑⟩ + |↓⟩)/2，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 本征态。用泡利矩阵 σx、σy、σz 求该态下 Sz = (ħ/2)σz 与 Sx = (ħ/2)σx 的期望值 ⟨Sz⟩ 与 ⟨Sx⟩。

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16. 根据乌伦贝克与古兹密特提出的电子自旋假设，电子具有内禀的自旋角动量 S，其自旋量子数 s=____，相应的自旋角动量大小 S=√(s(s+1))ħ=____ħ（结果化简为最简根式）。

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17. 某类氢原子价电子发生 l=1 → l=0 的跃迁，置于磁感应强度 B=4 T 的匀强外磁场中（沿 z 轴），不计自旋（正常塞曼效应）。已知玻尔磁子 μ_B=5.79×10⁻⁵ eV/T，普朗克常量 h=4.14×10⁻¹⁵ eV·s。求相邻两条谱线（σ 线）之间的频率间隔 Δν，以 Hz 表示。

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18. 已知泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σiσj = δij·I + i·εijk·σk（I 为二阶单位矩阵，εijk 为 Levi-Civita 符号），且任一泡利矩阵的迹为零，即 Tr(σx)=Tr(σy)=Tr(σz)=0。设 C = σx + 2σy，D = 3σy + σz，试计算乘积矩阵 CD 的迹 Tr(CD)，要求写出每一步运算依据。

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19. 自旋轨道耦合哈密顿量中，自旋与轨道角动量发生相互作用的直接原因是（　　） A. 电子在原子核电场中运动时，在其自身静止参考系中感受到磁场，该磁场与自旋磁矩相互作用 B. 电子之间的库仑排斥作用使自旋方向趋于平行 C. 原子核的自旋磁矩与电子轨道磁矩之间的直接磁吸引 D. 电子的德布罗意波在原子核表面发生衍射导致的相位移动

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20. 电子在原子核库仑场中运动时，自旋轨道耦合的物理来源是什么？由此引入的相互作用能项在哈密顿量中依赖哪两个力学量的组合？下列说法正确的是：A. 耦合来源于电子磁矩与外加强磁场的相互作用，耦合项依赖 S 与外场 B 的组合 B. 耦合来源于电子在核静电场中运动时在自身静止系中感受到磁场，耦合项正比于 L·S C. 耦合来源于电子与核的自旋相互作用，耦合项依赖 S 与核自旋 I 的组合 D. 耦合来源于轨道磁矩之间的相互作用，耦合项正比于 L²

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21. 已知泡利矩阵 σz 满足 σz² = I（I 为二阶单位矩阵），且 σz 与 σy 反对易，即 σzσy + σyσz = 0。设算符 A = σz + σy，则 A² = ____（用 I 与 σzσy 表示）。

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22. 依据乌伦贝克与古兹密特的电子自旋假设，电子自旋量子数 s=1/2，自旋角动量大小为 S=√(s(s+1))ħ，自旋在任意选定方向（取为 z 轴）上的投影 S_z=m_sħ，其中 m_s 只能取 ±1/2。设自旋矢量与 z 轴夹角为 θ（对应 m_s=+1/2 的取向）。求：cos θ 的值，以及 θ 的度数（精确到 0.1°）。

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23. 已知泡利矩阵 σy = [[0, -i], [i, 0]]（i 为虚数单位）。求 σy 的迹（主对角元之和）tr(σy) 的值。（　　） A. 0　B. 1　C. i　D. 2

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24. 设电子自旋态为 |ψ⟩ = (|↑⟩ + i|↓⟩)/√2，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 的本征态。在该态下，Sy = (ħ/2)σy 的期望值 ⟨Sy⟩ 为多少？ A. -ħ/2 B. ħ/2 C. 0 D. ħ

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25. 根据乌伦贝克与古兹密特的电子自旋假设，电子具有内禀自旋角动量 S，其自旋量子数 s=1/2，自旋角动量大小 S=√(s(s+1))ħ，自旋在 z 方向的投影 S_z=m_sħ，m_s=±1/2。设某电子处于自旋朝上态，其 S_z=+ħ/2；另一电子处于自旋朝下态，其 S_z=-ħ/2。则第一个电子的 S_z 与第二个电子的 S_z 之比为____，而任一电子的自旋角动量大小 S 与其 S_z（取 +ħ/2）之比为____（化为最简形式）。

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26. 一价原子中外层电子受自旋轨道耦合作用，相互作用项为 H′ = a(L·S)，其中 a 为正常数。设电子的轨道角动量量子数 l=1，自旋量子数 s=1/2。利用 L·S = (J² − L² − S²)/2，其中 J 为总角动量，计算：(1) j=3/2 与 j=1/2 两种总角动量态下 L·S 的本征值；(2) 由该自旋轨道耦合导致的两条精细结构能级的间隔（用 a 表示）。

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27. 依据乌伦贝克与古兹密特的电子自旋假设，电子的内禀自旋角动量大小为 S=√(s(s+1))ħ，而其在任一方向上的投影 S_z=msħ，m 可取的最大值为 s。若用 S_z(max) 表示自旋投影的最大值，则比值 S/S_z(max) 等于多少？A. 2　B. √3　C. √3/2　D. 3/2

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