自旋态与自旋算符 — 物理计算题

设电子自旋态为 |ψ⟩ = (1/2)|↑⟩ + (√3/2)|↓⟩，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 的本征态，本征值分别为 +1、−1。已知泡利矩阵 σx = ((0,1),(1,0))，σy = ((0,−i),(i,0))，σz = ((1,0),(0,−1))。(1) 写出 |ψ⟩ 在 σz 表象中的列向量表示并归一化验证；(2) 计算 ⟨σx⟩、⟨σy⟩、⟨σz⟩；(3) 求自旋矢量 ⟨S⟩ = (ħ/2)⟨σ⟩ 的大小 |⟨S⟩|。