希尔伯特空间内积与完备性 — 物理计算题

在三维希尔伯特空间中取正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}。已知 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ + (2/3)|2⟩ + (2/3)|3⟩，|φ⟩ = (2/3)|1⟩ + (1/3)|2⟩ − (2/3)|3⟩。 (1) 验证 |ψ⟩ 与 |φ⟩ 均已归一化，并计算 ⟨ψ|φ⟩，说明二者是否正交； (2) 求 |χ⟩ = a|1⟩ + b|2⟩ + c|3⟩：要求其为与 |ψ⟩、|φ⟩ 都正交的单位矢量，且展开系数满足 a < 0（提示：可取与 (1,2,2) 和 (2,1,−2) 都垂直的方向）； (3) 检验 {|ψ⟩, |φ⟩, |χ⟩} 的完备性，即验证 ∑ |α⟩⟨α| = |1⟩⟨1| + |2⟩⟨2| + |3⟩⟨3|（α 取 ψ、φ、χ）。