球谐函数 — 物理计算题
题目
已知角动量平方算符 L² 的本征函数为球谐函数 Y_lm(θ,φ)，满足 L²Y_lm = l(l+1)ħ²Y_lm，且归一化条件为 ∫|Y_lm|²dΩ = 1。设粒子处于 l=1、m=0 的态，其波函数角向部分为 Y₁₀(θ,φ) = √(3/4π)cosθ。求：(1) 在该态中测量 L² 得到的唯一本征值；(2) 在该态中测量 Lz 得到的唯一本征值；(3) 概率密度 |Y₁₀|² 在 θ=0（北极）与 θ=π/2（赤道）两处的比值。