大学随机过程（大学通用）上册《复合泊松过程与更新过程》练习题

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本单元考点（5 个）

复合泊松过程的定义与数字特征复合泊松过程的独立增量性更新过程与更新函数更新方程与基本更新定理更新过程的极限性质

本单元练习题（18 题）

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1. 设某设备的更换间隔时间 X（单位：小时）为离散随机变量，分布为 P(X=1)=1/4，P(X=2)=3/4。各次更换间隔相互独立，N(t) 表示 (0,t] 内的更换次数，更新函数 m(t)=E[N(t)] 满足更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)dF(x)，其中 F 为 X 的分布函数。由基本更新定理，更新速率 lim(t→∞) m(t)/t 等于平均更新间隔 μ=E[X] 的倒数。请计算：μ=____，lim(t→∞) m(t)/t=____。

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2. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，且 P(X₁=2)=P(X₁=4)=1/2。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理与更新函数的极限性质，极限 lim(t→∞) [m(t) − t/μ] = ____，其中 μ=E[X₁]。

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3. 设 {N(t), t≥0} 是更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均值 μ=E[X₁]∈(0,∞)。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数。关于更新过程的极限性质，下列结论正确的是： A. lim(t→∞) N(t)/t = 1/μ（以概率1成立） B. lim(t→∞) N(t)/t = μ（以概率1成立） C. lim(t→∞) m(t)/t = μ D. lim(t→∞) N(t) = ∞ 不一定成立，可能收敛到有限值

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4. 设更新过程的更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，其分布函数为 F(t)=1−e^(−2t)（t≥0），记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新过程的极限性质，lim(t→∞) m(t)/t 的值为（　） A. 1　B. 2　C. 1/2　D. 4

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5. 设更新过程的更新间隔 {Xₙ} 相互独立同分布，均服从参数为 2 的指数分布，N(t) 表示 (0,t] 内的更新次数，m(t)=E[N(t)] 为更新函数，则 m(t)=____

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6. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的分布函数为 F(t)=1−e^(−2t)（t≥0），m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则 lim(t→∞) m(t)/t 等于（　） A. 3/2　B. 2/3　C. 2　D. 1/2

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7. 设 {X(t), t≥0} 为复合泊松过程，X(t)=∑_{i=1}^{N(t)} Y_i，其中 {N(t)} 是强度 λ=1 的泊松过程，{Y_i} 独立同分布且 P(Y_i=1)=P(Y_i=3)=1/2，与 {N(t)} 独立。利用独立增量性可得协方差 Cov(X(2), X(5))=Var(X(2))，则 Cov(X(2), X(5))=____

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8. 设更新间隔分布为 F(t)=1−e^(−2t)（t≥0），其密度 f(x)=2e^(−2x)。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，它满足更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)f(x)dx。若设 m(t)=at+b，则由方程两边待定系数可得 a=____，b=____，从而 lim(t→∞) m(t)/t = 2。

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9. 设更新间隔分布为 F(t)=1−e^(−3t)（t≥0），密度 f(x)=3e^(−3x)，其均值为 1/3。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，则 m(t) 满足的更新方程为 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)f(x)dx，由基本更新定理得 lim(t→∞) m(t)/t = ____。

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10. 设某设备相继更新间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，分布函数 F(t)=0.5(1−e^(−t))+0.5(1−e^(−3t))（t≥0），N(t) 为 (0,t] 内的更新次数，更新函数 m(t)=E[N(t)] 满足更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)dF(x)。由基本更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____（结果用分数表示）。

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11. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，其更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均服从均值为 1/3 的指数分布，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。下列结论正确的是（　） A. m(t) = 3t（t≥0） B. m(t) = t/3（t≥0） C. m(t) = 3t²（t≥0） D. m(t) = e^(−3t)（t≥0）

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12. 设 {X(t), t≥0} 为复合泊松过程，X(t)=∑_{i=1}^{N(t)} Y_i，其中 {N(t)} 是强度 λ=2 的泊松过程，{Y_i} 独立同分布于某分布且与 {N(t)} 独立。对 0<s<t，关于增量 X(t)−X(s)，下列结论正确的是：A. X(t)−X(s) 与 {X(u), 0≤u≤s} 相互独立，且是强度为 2(t−s) 的泊松过程驱动的复合泊松随机变量　B. X(t)−X(s) 与 X(s) 不独立，因为 X(t) 含 X(s) 的求和项　C. X(t)−X(s) 服从强度为 2(t−s) 的泊松分布　D. X(t)−X(s) 与 X(t−s) 同分布但与过去历史相关

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13. 设 {X(t), t≥0} 为复合泊松过程，X(t)=∑_{i=1}^{N(t)} Y_i，其中 {N(t)} 是强度 λ=2 的泊松过程，{Y_i} 为与 N 独立的独立同分布随机变量列。下列关于增量 X(5)−X(3) 的论断中，正确的是哪一项？ A. X(5)−X(3) 与 {X(u): 0≤u≤3} 相互独立，且与 X(2) 同分布 B. X(5)−X(3) 与 {X(u): 0≤u≤3} 独立，但分布不同于 X(2) C. X(5)−X(3) 与 X(3)−X(0) 同分布，但不与过去增量独立 D. X(5)−X(3) 的取值必然受 X(3) 的影响，故不能与 {X(u): 0≤u≤3} 独立

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14. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔独立同分布且 E[X₁]=μ∈(0,∞)。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，则 lim(t→∞) N(t)/t 的概率意义是什么？A. 依概率收敛于 1/μ　B. 几乎处处收敛于 μ　C. 依概率收敛于 μ　D. 几乎处处收敛于 1/μ

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15. 设 {N(t), t≥0} 是更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均值 μ=E[X₁]∈(0,∞)，更新函数 m(t)=E[N(t)]。已知 lim(t→∞) m(t)/t = 1/μ，且某设备的更新间隔均值为 4 小时，试判断当 t→∞ 时，下列关于 m(t)/t 的极限值正确的是：A. 4　B. 1/2　C. 1/4　D. 极限不存在

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16. 设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，且 X₁ 服从区间 [1,3] 上的均匀分布。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，R(t)=S_{N(t)+1}−t 为时刻 t 的剩余寿命（S_n 为第 n 次更新时刻）。由更新极限定理，m(t)/t 当 t→∞ 时的极限为多少？下列结论正确的是（　）A. 极限为 1/2　B. 极限为 2　C. 极限为 1/4　D. 极限不存在

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17. 设某系统相继更新间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，密度 f(x)=xe^(−x)（x≥0），其均值为 2。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，已知它满足更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)f(x)dx，其中 F 为 X₁ 的分布函数。根据基本更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____

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18. 设更新间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，分布函数为 F(t)=1−e^(−5t)（t≥0），其均值为 1/5。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数，则由基本更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____。

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