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大学随机过程（大学通用）上册《随机过程的数字特征与平稳性》练习题

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本单元考点（5 个）

均值函数与自相关函数的计算自协方差函数及其性质严平稳与宽平稳的定义及关系平稳随机过程的均值与相关函数特征互相关函数与互协方差函数

本单元练习题（18 题）

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1. 设随机过程 {X(t), t∈R} 定义为 X(t)=η²，其中 η~N(0,1) 为与 t 无关的随机变量。由于该过程的一维分布不随 t 改变，它必为严平稳过程；又因 X(t) 的均值函数恒为____，且自相关函数恒为常数3，故它也是宽平稳过程。此例说明：严平稳过程在二阶矩存在时____宽平稳过程。

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2. 设随机过程 X(t)=Y·cos(2πt)，其中 t∈[0,1]，Y 是随机变量，E(Y)=2，E(Y²)=5，则 X(t) 的均值函数 m_X(t) 与自相关函数 R_X(s,t) 分别为（　） A. m_X(t)=2cos(2πt)，R_X(s,t)=5cos(2πs)cos(2πt) B. m_X(t)=2，R_X(s,t)=4 C. m_X(t)=0，R_X(s,t)=5cos(2π(s+t)) D. m_X(t)=2cos(2πt)，R_X(s,t)=4+5cos(2πs)cos(2πt)

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3. 设 {X(t)=cos(t+Y), t∈R}，其中 Y 在 [0,2π) 上均匀分布。则该过程的自相关函数 R_X(τ) 与均值 m_X 分别为（　）。A. R_X(τ)=cos τ，m_X=0，故为宽平稳过程　B. R_X(τ)=2cos τ，m_X=1，故为宽平稳过程　C. R_X(τ)=(1/2)cos τ，m_X=0，故为宽平稳过程　D. R_X(τ) 依赖 t，故为非平稳过程

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4. 设随机过程 X(t)=A+Bt，其中 A 与 B 相互独立，A 服从区间 (0,2) 上的均匀分布，B 服从区间 (−1,1) 上的均匀分布。则 X(1) 与 X(2) 的自相关函数 R(1,2)=E[X(1)X(2)] 的值为 A. 2　B. 4/3　C. 5/3　D. 1/3

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5. 设随机过程 X(t)=A（t 为参数），其中 A 是均值为 0、方差为 4 的随机变量。则 X(t) 的自协方差函数 C_X(s,t)=____；由此可知 X(t) 是宽平稳过程，其方差函数 σ²(t)=____。

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6. 设 {X(t)} 为宽平稳过程，均值为 0，自相关函数 R_X(τ)=4e^(-2|τ|)。令 Y(t)=3X(t)+1。则互相关函数 R_XY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)] = ____，互协方差函数 C_XY(t1,t2)=Cov(X(t1),Y(t2)) = ____。

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7. 设随机过程 X(t)=t²Y+3（t 为参数），其中 Y 为随机变量，E[Y]=1，D(Y)=9。则 X(t) 的自协方差函数 C_X(s,t)=（　） A. 9s²t² B. 9st C. 9(s²+t²) D. 18s²t²

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8. 设 {X(t)} 与 {Y(t)} 为两个实随机过程，已知 X(t)=U（U 为随机变量，E[U]=2，D[U]=4），Y(t)=U+V，其中 V 与 U 独立且 E[V]=0，D[V]=1。则互协方差函数 C_XY(t₁,t₂) 等于（　） A. 4 B. 0 C. 5 D. 2

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9. 设随机过程 X(t)=A·cos(2t)+B·sin(2t)，其中 A、B 互不相关，E(A)=E(B)=0，D(A)=D(B)=4。下列结论正确的是（　）。 A. m_X=0，R_X(τ)=4cos(2τ)，X(t) 为宽平稳过程 B. m_X=0，R_X(τ)=8cos(2τ)，X(t) 为宽平稳过程 C. m_X=0，R_X(τ)=4cos(τ)，X(t) 为严平稳过程 D. R_X(τ) 与 t 有关，X(t) 不是宽平稳过程

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10. 设随机过程 X(t)=Y（其中 Y 是与 t 无关的随机变量），t≥0。若 Y 服从 N(0,1)，则对任意 n≥1 和任意时刻 t₁,t₂,…,tₙ，(X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布与 (Y,…,Y) 相同，不依赖于时间平移，故 X(t) 是____平稳过程（填“严”或“宽”）。又已知其均值为____，相关函数 R(s,t)=____，从而 X(t) 也是宽平稳过程，且严平稳必宽平稳（二阶矩存在时）。

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11. 设随机过程 X(t)=Y+Z·t²，其中随机变量 Y 与 Z 相互独立，E(Y)=1，E(Y²)=4/3，E(Z)=0，E(Z²)=1/2。记 R_X(s,t)=E[X(s)X(t)]，则 R_X(√3,2)=____

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12. 下列关于随机过程自协方差函数 C_X(s,t) 性质的说法中，正确的是（　） A. C_X(s,t) 关于 s 与 t 对称，且 C_X(s,s)≥0 B. C_X(s,t) 关于 s 与 t 不一定对称 C. C_X(s,s) 可以取任意负值 D. C_X(s,t) 恒等于均值函数的平方

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13. 设实随机过程 X(t)=A sin t，Y(t)=B cos t，其中 A、B 为相互独立的随机变量，且 E[A]=E[B]=1，D[A]=D[B]=4。则 X(t) 与 Y(t) 的互协方差函数 C_XY(t₁,t₂)=（　） A. 0 B. sin t₁ cos t₂ C. 4 sin t₁ cos t₂ D. 5 sin t₁ cos t₂

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14. 设随机过程 X(t)=Y·e^(-t)，其中 t∈[0,+∞)，随机变量 Y 的 E(Y)=3，E(Y²)=10。则 X(t) 的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(s,t)=____。

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15. 设随机过程 X(t)=3+U·cos(πt)+V·sin(πt)，其中 U、V 互不相关，E(U)=E(V)=0，D(U)=2，D(V)=8。则该过程的均值 m_X=____，自相关函数 R_X(1/2)=____。

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16. 设随机过程 X(t)=Y+Zt，其中随机变量 Y 与 Z 相互独立，且 E(Y)=1，E(Y²)=3，E(Z)=2，E(Z²)=6。则 X(t) 的均值函数 m_X(t)=1+2t，自相关函数 R_X(s,t)=3+2(s+t)+6st。据此，R_X(1/2, 1)=____

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17. 设两个实随机过程 X(t)=A+tB，Y(t)=C+tD，其中 A、B、C、D 为两两相互独立的随机变量，且 E[A]=E[C]=1，E[B]=E[D]=2。则互相关函数 R_XY(t₁,t₂)=E[X(t₁)Y(t₂)]，故 R_XY(1,2)=____。

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18. 设实随机过程 X(t)=A+t，Y(t)=tB+A，其中 A、B 相互独立，E[A]=1，D[A]=1，E[B]=2，D[B]=3。则互协方差函数 C_XY(t₁,t₂) 在 t₁=3, t₂=2 处的值 C_XY(3,2)=（　） A. 1　B. 2　C. 9　D. 21

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