大学随机过程（大学通用）上册《连续时间马尔可夫链》练习题

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本单元考点（5 个）

连续时间马尔可夫链的转移速率矩阵柯尔莫哥洛夫前进与后退方程生灭过程的定义与平稳分布连续时间链的嵌入链与状态分类连续时间马尔可夫链的极限分布

本单元练习题（9 题）

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1. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 为状态空间 {0,1,2} 的生灭过程，出生率 λ₀=4, λ₁=2，死亡率 μ₁=2, μ₂=4，且链正常返。则该链的极限分布（平稳分布）π=(π₀,π₁,π₂) 为　A. (1/4, 1/2, 1/4)　B. (1/3, 1/3, 1/3)　C. (1/2, 1/4, 1/4)　D. (4/11, 2/11, 5/11)

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2. 设连续时间马尔可夫链的转移概率为 p_ij(t)，转移速率矩阵为 Q=(q_ij)。关于柯尔莫哥洛夫方程，下列表述正确的是： A. 后退方程为 p'_ij(t)=∑_k q_ik·p_kj(t)，即速率矩阵元素取在行标 i B. 后退方程为 p'_ij(t)=∑_k p_ik(t)·q_kj(t)，即速率矩阵元素取在列标 j C. 后退方程为 p'_ij(t)=∑_k q_ki·p_kj(t)，即速率矩阵元素取在列标 i D. 后退方程为 p'_ij(t)=∑_k p_kj(t)·q_ik(t)，与前进方程完全相同

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3. 设某生灭过程的状态空间为 {0,1,2}，出生率依次为 λ₀=1，λ₁=2，λ₂=0，死亡率依次为 μ₁=2，μ₂=4。已知该过程存在唯一平稳分布 {π₀, π₁, π₂}，则 π₀ 等于（　） A. 4/7 B. 1/2 C. 7/4 D. 2/7

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4. 设连续时间马尔可夫链的转移概率为 p_ij(t)，转移速率矩阵 Q = ((-3,3),(2,-2))。则 p_00'(t) 的柯尔莫哥洛夫前进方程是： A. p_00'(t) = -3p_00(t) + 3p_10(t) B. p_00'(t) = -3p_00(t) + 2p_01(t) C. p_00'(t) = -2p_00(t) + 3p_10(t) D. p_00'(t) = -2p_00(t) + 3p_01(t)

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5. 设某生灭过程的状态空间为 {0,1,2}，出生率为 λ₀=2，λ₁=1（λ₂=0），死亡率为 μ₁=2，μ₂=4。该过程存在唯一平稳分布 {π₀, π₁, π₂}，则 π₂ = ？ A. 1/6　B. 1/9　C. 4/9　D. 2/9

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6. 设连续时间马尔可夫链 {X(t)} 取值于 {0,1}，转移概率为 p_ij(t)，状态 0→1 的转移速率为 2，状态 1→0 的转移速率为 3。记 Q 为转移速率矩阵，则由柯尔莫哥洛夫前进方程，p_01'(t) 应满足：A. p_01'(t)=2p_01(t)−3p_01(t)　B. p_01'(t)=2p_00(t)−3p_01(t)　C. p_01'(t)=−2p_00(t)+3p_01(t)　D. p_01'(t)=−3p_01(t)+3p_00(t)

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7. 设连续时间马尔可夫链的状态空间为{0,1}，转移速率矩阵 Q 的元素为 q00=-2，q01=2，q10=1，q11=-1，转移概率记为 p_ij(t)。则 p_12(t) 满足的柯尔莫哥洛夫后退方程为： A. p'_12(t)=-2p_12(t)+2p_22(t) B. p'_12(t)=p_02(t)-p_12(t) C. p'_12(t)=2p_02(t)+2p_12(t) D. p'_12(t)=p_11(t)-p_12(t)

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8. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，其为生灭过程：从状态 0 到 1 的转移率为 1，从状态 1 到 0 与到 2 的转移率分别为 2 和 3，从状态 2 到 1 的转移率为 4。记其转移速率矩阵为 Q=(qᵢⱼ)。则 q₁₁ 的值为（　） A. 5　B. -5　C. -3　D. -6

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9. 设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，转移速率矩阵 Q 满足：q01=1，q10=1，q12=1，q21=3，其余非对角元为 0，对角元使每行元素之和为 0。转移概率记为 p_ij(t)。则由柯尔莫哥洛夫前进方程，p_01'(t) 等于： A. p00(t) - 2p01(t) + 3p02(t) B. p00(t) - p01(t) + 3p02(t) C. p01(t) - 2p00(t) + 3p02(t) D. 3p02(t) - p01(t)

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