大学随机过程（大学通用）上册《遍历定理与极限定理》练习题

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本单元考点（5 个）

均值遍历性的定义与条件相关函数遍历性强大数定律及其应用中心极限定理在随机过程中的形式单调收敛定理与控制收敛定理

本单元练习题（9 题）

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1. 设概率空间 ((0,1), B, P) 为均匀概率测度，定义随机变量 Xₙ(x)=n·1_(0,1/n)(x)。记 X(x)=lim(n→∞) Xₙ(x)，则 Xₙ 逐点收敛于 X。下列结论正确的是　A. X≡0，且由控制收敛定理得 lim(n→∞) ∫XₙdP = 0　B. X≡0，但控制收敛定理不可用，且 lim(n→∞) ∫XₙdP = 1　C. X≡1，且 lim(n→∞) ∫XₙdP = 1　D. Xₙ 单调递增，故由单调收敛定理得 lim(n→∞) ∫XₙdP = ∫lim(n→∞) XₙdP = 0

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2. 设 {X(t), t∈(-∞,+∞)} 为平稳过程，其相关函数 R_X(τ)=e^(-2|τ|)。记时间平均的相关函数估计为 ⟨X(t)X(t+τ)⟩ = lim(T→∞) (1/T)∫₀ᵀ X(t)X(t+τ)dt，E[X(t)X(t+τ)]=R_X(τ)。根据相关函数的遍历性定理（对 R_X(τ)，若 lim(T→∞) (1/T)∫₀ᵀ (1-τ₀/T)·[R_X(τ₀)]² dτ₀ 存在且等于 0，则相关函数具有遍历性），判断该过程的相关函数是否具有遍历性，并选出正确结论： A. 具有遍历性，因为 ∫₀^∞ e^(-4τ₀)dτ₀ < ∞ B. 不具有遍历性，因为 R_X(τ) 是偶函数 C. 不具有遍历性，因为 R_X(0)=1 ≠ 0 D. 是否具有遍历性取决于 X(t) 的均值是否为零

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3. 设 {Xₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量序列，期望 E(Xₙ)=μ，方差 D(Xₙ)=σ²>0，记 Sₙ=X₁+X₂+…+Xₙ。当 n 充分大时，随机变量 (Sₙ−nμ)/(σ√n) 的极限分布是什么？A. 收敛于标准正态分布 N(0,1)　B. 收敛于 N(μ,σ²)　C. 收敛于 N(0,σ²)　D. 依概率收敛于 μ

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4. 设 {X(t), t≥0} 为宽平稳过程，均值为 mₓ。下列关于该过程具有均值遍历性（即时间平均依概率1收敛于 mₓ）的判断，正确的是：A. 只要均值为常数 mₓ，过程就必具有均值遍历性　B. 均值遍历性要求时间平均 lim(T→∞) (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 依概率1收敛于 mₓ，相关函数需满足相应可积或趋于极限的条件　C. 均值遍历性等价于方差为有限常数　D. 若相关函数 R_X(τ) 不随 τ 变化，则过程一定不具均值遍历性

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5. 下列关于积分收敛定理的叙述正确的是：设 {fₙ} 为测度空间上的可测函数列，E 为可测集。A. 若 fₙ(x) 单调不减地收敛于 f(x)，且每个 fₙ 在 E 上非负可积，则必有 lim(n→∞)∫ₑ fₙdx = ∫ₑ f dx；B. 单调收敛定理要求每个 fₙ 在 E 上积分一致有界；C. 控制收敛定理要求存在可积函数 g 使 |fₙ|≤g 且 fₙ 依测度收敛于 f，则 lim(n→∞)∫ₑ fₙdx = ∫ₑ f dx；D. 控制收敛定理中控制函数 g 只需可测，不必可积。　A. A、C 均正确　B. 仅 B 正确　C. 仅 D 正确　D. B、D 均正确

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6. 设 {Xₙ} 为独立同分布随机变量序列，E(Xₙ)=2，D(Xₙ)=9。记前 n 项算术平均为 X̄ₙ = (1/n)∑ₖ₌₁ⁿ Xₖ，则由强大数定律可得的结论是（　　） A. X̄ₙ 依概率收敛于 2，且以概率 1 收敛于 2 B. X̄ₙ 仅依概率收敛于 2，未必以概率 1 收敛于 2 C. X̄ₙ 以概率 1 收敛于 2，但未必依概率收敛于 2 D. X̄ₙ 收敛于 2 的方差为 3

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7. 设 {X(t), t∈(-∞,+∞)} 为均方连续的平稳过程，相关函数遍历性指 ⟨X(t)X(t+τ)⟩ 以均方意义等于 R_X(τ)，其充要条件为 lim(T→∞) (1/(2T))∫₋₂T²T (1-|τ|/(2T))|R_X(τ)|² dτ = 0。据此判断：下列哪个相关函数对应的平稳过程具有相关函数遍历性？ A. R_X(τ) = 4 + cosτ B. R_X(τ) = 2 + e^(-|τ|) C. R_X(τ) = e^(-|τ|)cos2τ D. R_X(τ) = cos²τ + 1

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8. 设 {N(t), t≥0} 为强度 λ=4 的泊松过程。根据中心极限定理在随机过程中的形式，当 t→∞ 时，随机变量 (N(t)−4t)/√(4t) 的极限分布为（　） A. N(0,4) B. N(0,1) C. N(4t,4t) D. 泊松分布 P(4t)

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9. 设 {X(t), t∈(-∞,+∞)} 为平稳过程，均值为 m=0，相关函数 R_X(τ)=e^(-2|τ|)。由相关函数遍历性定理，⟨X(t)X(t+τ)⟩ 以均方意义等于 R_X(τ) 的充要条件是 lim(T→∞) (1/T)∫₀^(2T) (1-τ/(2T))·R_X(τ)² dτ = 0。则该积分极限的值为 A. 0　B. 1/4　C. 1/2　D. 极限不存在

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