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大学随机过程（大学通用）上册《随机积分与伊藤公式》练习题

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本单元考点（5 个）

伊藤积分的定义与性质伊藤等距公式伊藤公式及其基本应用伊藤过程与随机微分方程的概念随机微分方程解的简单例子

本单元练习题（9 题）

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1. 设随机过程 X_t 满足线性随机微分方程 dX_t = −X_t dt + √2 dW_t，初值 X_0 = 1，其中 W_t 为标准布朗运动。记 μ(t) = E[X_t]，σ²(t) = Var(X_t)，则 μ(1) + σ²(1) 等于（　） A. 1 B. e^(−1) + (1 − e^(−2)) C. e^(−1) + 2(1 − e^(−2)) D. e^(−1) + (1/2)(1 − e^(−2))

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2. 下列关于伊藤积分 ∫₀ᵀ Xₜ dWₜ（Wₜ 为标准布朗运动）的论断中，正确的是（　） A. 伊藤积分按普通黎曼积分方式对被积函数逐点取值定义 B. 伊藤积分中的被积函数在分割区间的取值点取左端点 t₍ᵢ₋₁₎，这保证了积分关于布朗运动的自然σ-域流适应 C. 伊藤积分对任意随机过程 Xₜ 都有定义，无需可积性条件 D. 伊藤积分是关于时间的有界变差过程

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3. 设 {W(t), t≥0} 是标准布朗运动，W(0)=0。由伊藤公式有 d(W(t)²) = 2W(t)dW(t) + dt。将上式在区间 [0,1] 上积分，得 W(1)² = 2∫₀¹ W(t)dW(t) + 1。利用 E[W(1)²]=1，则随机积分 ∫₀¹ W(t)dW(t) 的数学期望为（　） A. 1/2　B. 1　C. 0　D. −1/2

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4. 下列关于伊藤积分 ∫₀ᵀ Xₜ dWₜ（其中 Wₜ 为标准布朗运动）的说法中，正确的是（　） A. 它按普通黎曼积分方式将区间逐点分割后直接求和取极限定义 B. 被积随机过程 Xₜ 若为简单过程（在每个子区间上取常值），其伊藤积分即为有限个随机变量增量乘积之和 C. 伊藤积分对任意随机过程 Xₜ 都有定义，无需任何可测性或可积性条件 D. 伊藤积分是普通二重定积分的特例

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5. 设 Wₜ 为标准布朗运动，下列关于伊藤积分 ∫₀ᵀ Wₜ dWₜ 的论断中，正确的是（　） A. 它等于 (W_T²−W_0²)/2，与普通微积分链式法则结果一致 B. 它等于 W_T²/2 − T/2，其中多出的 −T/2 项源于伊藤修正项 C. 它等于 W_T²/2 + T/2，因为被积函数随机故符号反转 D. 它恒等于 0，因为被积函数与增量相互抵消

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6. 设 f(t) 为 [0,1] 上的确定性可测函数，且 ∫₀¹ f²(t)dt = 3，W(t) 为标准布朗运动。由伊藤等距公式，随机积分 ∫₀¹ f(t)dW(t) 的二阶矩 E[(∫₀¹ f(t)dW(t))²] 等于多少？ A. 3　B. 9　C. 1/3　D. 0

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7. 设随机过程 X 满足随机微分方程 dX(t) = 3t dt + 2 dB(t)，其中 B(t) 为标准布朗运动。按伊藤过程的定义，该方程中漂移系数 a(t) 与扩散系数 b(t) 分别为（　）。 A. a(t)=3t，b(t)=2 B. a(t)=2，b(t)=3t C. a(t)=3t，b(t)=2B(t) D. a(t)=3，b(t)=2t

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8. 设 {W(t), t≥0} 为标准布朗运动。下列关于伊藤过程与随机微分方程的说法中，正确的是（　） A. 若 X(t) 满足 dX(t)=a(t)dt+b(t)dW(t)，其中 a、b 为确定性可积函数且 b≠0，则 X(t) 是伊藤过程，其漂移系数为 a(t)、扩散系数为 b(t) B. 伊藤过程 dX(t)=a(t)dt+b(t)dW(t) 中的积分 ∫b(t)dW(t) 应理解为关于布朗运动的黎曼–斯蒂尔杰斯积分 C. 随机微分方程 dX(t)=a(t)dt+b(t)dW(t) 的解 X(t) 是确定性函数，其随机性仅体现在方程系数中 D. 若 b(t)=0，则 dX(t)=a(t)dt+b(t)dW(t) 退化为常微分方程，此时 X(t) 不再是伊藤过程

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9. 设 W(t) 为标准布朗运动，f(t)=√3，g(t)=√5(2t−1)，t∈[0,1]，记 I₁=∫₀¹ f(t)dW(t)，I₂=∫₀¹ g(t)dW(t)。由伊藤等距公式，E[(I₁+I₂)²]=（　） A. 8　B. 16　C. 15　D. 24

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