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大学随机过程（大学通用）上册《平稳过程谱分析》练习题

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本单元考点（5 个）

平稳过程的谱表示功率谱密度与自相关函数的关系白噪声与有色噪声的谱特征线性系统输出功率谱的计算谱分布函数及其性质

本单元练习题（18 题）

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1. 设宽平稳过程 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 的功率谱密度为 S(ω)=24/(ω²+16)。由维纳—辛钦公式，其自相关函数满足 R(τ)=Ce^(−a|τ|)（a>0），则 C=____。

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2. 设 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 为均方连续的实宽平稳过程，其自相关函数为 R_X(τ)=4e^(−2|τ|)(1+cos τ)。已知傅里叶变换对：e^(−a|τ|) ↔ 2a/(a²+ω²)（a>0），且 e^(−a|τ|)cos(bτ) ↔ a/(a²+(ω−b)²)+a/(a²+(ω+b)²)。由维纳–辛钦定理求 X(t) 的功率谱密度 S_X(ω) 在 ω=0 处的值，则 S_X(0)=____。

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3. 设 {X(t)} 为零均值宽平稳过程，其功率谱密度 S_X(ω) 在整个频率轴 (−∞,+∞) 上为非零的正常数。就谱特征而言，该过程属于____噪声（填“白”或“有色”）；若另一平稳过程的谱密度仅在有限频带内近似为常数、带外迅速衰减，则其谱特征属于____噪声（填“白”或“有色”）。将两个空的答案依次写出，中间用逗号分隔，填入：____

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4. 设 {X(t), t∈(-∞,+∞)} 为均方连续的宽平稳过程，相关函数为 R_X(τ)。由谱表示（维纳–辛钦）理论，其功率谱密度 S_X(ω) 满足：R_X(τ) 是 S_X(ω) 的傅里叶变换，且 S_X(ω) 具有的基本性质是（　） A. S_X(ω) 非负且为 ω 的偶函数 B. S_X(ω) 非负且为 ω 的奇函数 C. S_X(ω) 可取负值且为 ω 的偶函数 D. S_X(ω) 恒为常数，与 ω 无关

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5. 设 {X(t)} 为零均值宽平稳过程，其功率谱密度记为 S(f)。下列关于功率谱密度的四个表达式所对应的四个平稳过程中，哪一个是白噪声（即在所考察频带内谱密度为非零常数的过程）？ A. S(f)=3/(f²+9) B. S(f)=2e^(−f²) C. S(f)=4 D. S(f)=5/(1+f²)

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6. 设宽平稳过程 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(−2|τ|)。由维纳—辛钦公式，其功率谱密度 S(ω)=∫_(−∞)^(+∞) R(τ)e^(−jωτ)dτ，则 S(0)=____。

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7. 设宽平稳过程 X(t) 的功率谱密度为 S_X(ω)=2，X(t) 通过频率响应为 H(ω)=1/(1+jω) 的线性时不变系统，则输出过程 Y(t) 的功率谱密度 S_Y(ω) 为（　　） A. 2/(1+ω²)　B. 1/(1+ω²)　C. 2/(1+ω)　D. 4/(1+ω²)

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8. 设宽平稳过程 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(−3|τ|)。由维纳—辛钦公式，其功率谱密度 S(ω)=∫_(−∞)^(+∞) R(τ)e^(−jωτ)dτ。则 S(ω) 等于（　） A. 6/(9+ω²) B. 3/(9+ω²) C. 6/(3+ω²) D. 2/(9+ω²)

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9. 设宽平稳过程 {X(t)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(−3|τ|)，其功率谱密度为 S(ω)。由维纳—辛钦公式，下列结论正确的是（　） A. S(0)=2/3，且总功率 ∫_(−∞)^(+∞) S(ω)dω/(2π)=1 B. S(0)=3/2，且总功率为 1/3 C. S(ω)=1/(9+ω²) D. S(0)=1/3，且总功率为 2π

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10. 设宽平稳过程 X(t) 的谱分布函数为 F(ω)。已知 X(t) 的均方值 E[X²(t)] = 5，且谱分布连续（无离散谱分量）。由谱分解定理，F(∞) − F(−∞) = ____。

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11. 设宽平稳过程 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 的自相关函数为 R(τ)=4e^(−5|τ|)。由维纳—辛钦公式，其功率谱密度 S(ω)=∫_(−∞)^(+∞) R(τ)e^(−iωτ)dτ，则 S(ω)=____；进而可得 S(0)=____

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12. 设 {X(t), t∈(-∞,+∞)} 为均方连续的实宽平稳过程，其相关函数 R_X(τ)=2+e^(−2|τ|)。由维纳–辛钦定理，X(t) 的功率谱密度 S_X(ω) 等于（　） A. 4πδ(ω)+4/(4+ω²) B. 4πδ(ω)+2/(4+ω²) C. 2πδ(ω)+4/(4+ω²) D. 4/(4+ω²)

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13. 设宽平稳过程 X(t) 的功率谱密度 S_X(ω)=1（白噪声），将其输入频率响应为 H(ω)=3/(3+jω) 的线性时不变系统，输出为 Y(t)。则 Y(t) 的平均功率 P=(1/2π)∫₋∞⁺∞ S_Y(ω)dω 等于 A. 9/2　B. 3　C. 3/2　D. 1/2

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14. 设宽平稳过程 {X(t), t∈(−∞,+∞)} 的自相关函数为 R(τ)=2e^(−4|τ|)。由维纳—辛钦公式，其功率谱密度 S(ω)=____。

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15. 设宽平稳过程 X(t) 的功率谱密度 S_X(ω)=4（白噪声），将其输入频率响应为 H(ω)=2/(2+jω) 的线性时不变系统，输出为 Y(t)。记 Y(t) 的平均功率为 P_Y = (1/2π)∫_{-∞}^{+∞} S_Y(ω)dω，则 P_Y = ____

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16. 设宽平稳过程 X(t)=A·e^(i2t)+B·e^(−i2t)+Y(t)，其中 A、B 为互不相关的零均值复随机变量，Var(A)=3，Var(B)=1，Y(t) 为与 A、B 不相关的零均值宽平稳过程，其谱分布函数连续（无跳跃），且 E[|Y(t)|²]=2。设 X(t) 的谱分布函数为 F(ω)，则 F 在整个频率轴上全部跳跃高度之和为 ____。

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17. 设宽平稳过程 X(t) 的谱分布函数为 F(ω)，已知其表达式为：F(ω)=0（ω<−3）；F(ω)=(ω+3)/2（−3≤ω<1）；F(ω)=5（ω≥1）。据此判断，下列结论正确的是：F(1⁻) 与谱函数在 ω=1 处的跳跃量分别为 A. F(1⁻)=2，跳跃量为 3 B. F(1⁻)=3，跳跃量为 2 C. F(1⁻)=5，跳跃量为 0 D. F(1⁻)=7/2，跳跃量为 3/2

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18. 设宽平稳过程 X(t) 的功率谱密度 S_X(ω)=1（白噪声），将其输入频率响应为 H(ω)=2/(1+jω) 的线性时不变系统，输出为 Y(t)。则 Y(t) 的总平均功率为（　　） A. 1/2　B. 1　C. 2　D. 4

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