大学随机过程（大学通用）上册《布朗运动》练习题

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本单元考点（5 个）

布朗运动的定义与基本性质布朗运动的马尔可夫性与鞅性布朗运动轨道的连续性与不可微性布朗运动的二次变差布朗运动的反射原理与首达时分布

本单元练习题（9 题）

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1. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，M(t)=max{B(s):0≤s≤t}，T₂=inf{t≥0: B(t)=2}。由反射原理，P(T₂≤4) 等于（已知 Φ(1)≈0.8413）A. 0.1686　B. 0.3174　C. 0.8413　D. 0.6348

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2. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，M(t)=max{B(s): 0≤s≤t}，T₂=inf{t≥0: B(t)=2}。由反射原理，P(T₂≤4)=P(M(4)≥2) 的值为（　） A. 2(1−Φ(1))≈0.3174　　B. 1−Φ(1)≈0.1587　　C. 2Φ(1)−1≈0.6826　　D. Φ(2)≈0.9772

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3. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，下列关于其轨道 {B(t): t≥0} 性质的说法正确的是（　） A. 轨道处处连续且处处可微 B. 轨道处处连续但处处不可微 C. 轨道处处连续，且在 t=0 处必可微 D. 轨道在任意点都不连续

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4. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，以下关于其轨道（样本路径）性质的结论中，正确的是（　） A. 几乎所有轨道处处连续，且处处不可微 B. 几乎所有轨道处处连续，且除可数多个点外处处可微 C. 几乎所有轨道在 t=0 处连续，在 t>0 处处处可微 D. 几乎所有轨道连续但不一致连续

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5. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，记 T₁=inf{t≥0: B(t)=1}，M(t)=max{B(s): 0≤s≤t}。由反射原理，概率 P(T₁≤2) 等于（　　） A. Φ(1/√2)　　B. Φ(−1)　　C. 2Φ(−1/√2)　　D. 2(1−Φ(1))

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6. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，记 T₂=inf{t≥0: B(t)=2} 为首次到达水平 2 的时刻。由反射原理可知，对任意 t>0，P(T₂≤t) 等于下列哪一式？ A. 2P(B(t)≥2) B. P(B(t)≥2) C. P(B(t)≤2) D. 2P(B(t)≤2)

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7. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。记 T = inf{t≥0: B(t)=2} 为布朗运动首次到达水平 2 的时刻。利用反射原理，概率 P(T ≤ 4) 等于（其中 Φ 为标准正态分布函数）（　　） A. 2(1 − Φ(1))　B. 1 − Φ(1)　C. 2Φ(1) − 1　D. Φ(2)

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8. 设 {W(t), t≥0} 是标准布朗运动，则 W(2t)−W(t) 服从什么分布？ A. N(0, t) B. N(0, 2t) C. N(0, 3t) D. N(0, t²)

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9. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。考察其几乎处处的样本轨道在区间 [0,1] 上的性质，下列说法正确的是（　） A. 轨道在 [0,1] 上处处连续，但在可数个点处可微 B. 轨道在 [0,1] 上处处连续，且在 [0,1] 上几乎处处不可微 C. 轨道在 [0,1] 上除 t=0 外连续，在其余点处处不可微 D. 轨道在 [0,1] 上仅在有限个点处不可微，其余点均可微

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