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大学随机过程（大学通用）上册《高斯过程与扩散过程》练习题

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本单元考点（5 个）

高斯过程的定义与有限维分布平稳高斯过程的谱特征扩散过程的定义与转移密度扩散过程的漂移与扩散系数高斯过程与布朗运动的关系

本单元练习题（18 题）

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1. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，定义 X(t)=B(t+1)−B(t)（t≥0）。已知布朗运动是高斯过程且增量相互独立、B(t)−B(s)~N(0,|t−s|)。则关于过程 {X(t)}，下列结论正确的是（　） A. X(t) 的方差随 t 增大而增大 B. 对每个 t，X(t) 服从标准正态分布 N(0,1)，且 {X(t)} 是高斯过程 C. X(t) 与 X(t+2) 的协方差等于 1 D. {X(t)} 的均值为 t

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2. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−|τ|)·cos(τ)。由维纳—辛钦公式，其谱密度为 S(ω)=∫₋∞^(+∞) e^(−|τ|)cos(τ)e^(−iωτ)dτ。已知 ∫₀^(+∞) e^(−aτ)cos(bτ)dτ = a/(a²+b²)，则 S(1)=____

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3. 设随机过程 X_t 满足随机微分方程 dX_t = (2 − 3X_t)dt + √(1 + X_t²) dW_t，其中 W_t 为标准布朗运动。按扩散过程的标准记法 dX_t = μ(X_t)dt + σ(X_t)dW_t，则漂移系数 μ(0) 与扩散系数 σ(0) 分别为（　） A. 2 和 1　B. −3 和 1　C. 2 和 √2　D. −1 和 2

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4. 设扩散过程 X_t 的无穷小生成元为 Lf(x)=(4−3x)f′(x)+6f″(x)。据此写出该过程随机微分方程 dX_t=μ(X_t)dt+σ(X_t)dW_t 中的漂移系数 μ(x) 与扩散系数 σ(x)，则 μ(1)+σ²(1) 等于（　） A. 7　B. 13　C. 5　D. 9

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5. 设扩散过程 X(t) 满足随机微分方程 dX(t) = (3 - 2X(t))dt + √6 dW(t)。写出该扩散过程的漂移系数和扩散系数：漂移系数为 ____，扩散系数为 ____。

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6. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−2|τ|)。由维纳—辛钦公式，其谱密度 S(ω)=∫₋∞^(+∞) R(τ)e^(−iωτ)dτ（按本课约定不除以 2π）。则 S(ω) 等于 A. 2/(4+ω²) B. 4/(4+ω²) C. 2/(1+ω²) D. 1/(4+ω²)

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7. 设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，下列关于高斯过程与布朗运动关系的结论中，正确的是（　） A. 布朗运动 {B(t), t≥0} 是高斯过程，且对任意 0≤t₁<t₂<…<tₙ，随机向量 (B(t₁),…,B(tₙ)) 服从联合正态分布 B. 布朗运动不是高斯过程，因为其增量 B(t)−B(s) 不服从正态分布 C. 若 {X(t), t≥0} 是高斯过程，则它一定是标准布朗运动 D. 布朗运动的有限维分布只由均值函数决定，与协方差结构无关

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8. 设扩散过程 X(t) 满足随机微分方程 dX(t) = 5t·dt + √3·dW(t)，其中 W(t) 为标准布朗运动。将该方程写成一般形式 dX(t) = μ(t,X(t))dt + σ(t,X(t))dW(t)，则漂移系数 μ(t,x) = ___，扩散系数 σ(t,x) = ___

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9. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−|τ|)·cos(2τ)。已知其谱密度由维纳—辛钦公式 S(ω)=∫₋∞^(+∞) R(τ)e^(−iωτ)dτ 给出，且 e^(−|τ|) 的傅里叶变换为 2/(1+ω²)。利用频移性质可得 S(ω)=1/2·[1/(1+(ω−2)²)+1/(1+(ω+2)²)]，则 S(0)=____

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10. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−|τ|)cos(2τ)。由维纳—辛钦公式，其谱密度为 S(ω)=∫₋∞^(+∞) R(τ)e^(−iωτ)dτ = ∫₋∞^(+∞) e^(−|τ|)cos(2τ)cos(ωτ)dτ。则 S(2)=____。

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11. 设扩散过程 X_t 满足随机微分方程 dX_t = 1·dt + 2·dW_t，X_0=0，其中 W_t 为标准布朗运动。由扩散过程的转移密度可知 X_2 服从正态分布 N(m, v)，则其方差 v 为（　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

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12. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=2e^(−3|τ|)，谱密度为 S(ω)。下列关于 S(ω) 的性质判断正确的是（　） A. S(ω)=12/(9+ω²) B. S(ω)=6/(9+ω²) C. S(ω)=4/(9+ω²) D. S(ω)=12/(3+ω²)

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13. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−3|τ|)，其谱密度按维纳—辛钦公式 S(ω)=∫₋∞^(+∞) e^(−3|τ|)e^(−iωτ)dτ 给出。则谱密度在零频率处的值 S(0) 等于（　） A. 1/3　B. 2/3　C. 3/2　D. 6

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14. 设扩散过程 X_t 满足随机微分方程 dX_t = 3·dt + 1·dW_t，X_0 = 0，其中 W_t 为标准布朗运动。由扩散过程的转移密度可知，X_1 服从正态分布，其均值为 ____，方差为 ____

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15. 设随机过程 X(t) = A·t + B，其中 A、B 相互独立且都服从标准正态分布 N(0,1)。由高斯过程的定义，对任意有限个时刻 t₁,…,tₙ，(X(t₁),…,X(tₙ)) 服从 n 维正态分布，故 X(t) 是高斯过程。其均值函数 m(t)=0，协方差函数 K(s,t)=Cov(X(s),X(t))。则 K(1,2)=____。

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16. 设扩散过程 X_t 的无穷小生成元为 Lf(x) = x(4−x)f′(x) + (1/2)(x²+9)f″(x)，即 dX_t = μ(X_t)dt + σ(X_t)dW_t。则该过程的扩散系数 σ(0) 与漂移系数 μ(1) 之和 σ(0)+μ(1) = ___

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17. 设平稳高斯过程 X(t) 的自相关函数为 R(τ)=e^(−3|τ|)。由维纳—辛钦公式，其谱密度为 S(ω)=∫₋∞^(+∞) R(τ)e^(−iωτ)dτ。利用已知公式 ∫₋∞^(+∞) e^(−a|τ|)e^(−iωτ)dτ = 2a/(a²+ω²)（a>0），可得 S(ω)=____；从而谱密度在零频率处的值 S(0)=____。

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18. 设扩散过程 X_t 满足随机微分方程 dX_t = -1·dt + 2·dW_t，X_0 = 0，其中 W_t 为标准布朗运动。由该扩散过程的转移密度可知，方差 Var(X_3) 等于 A. 3　B. 12　C. 18　D. 36

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