大学随机过程（大学通用）上册《鞅论初步》练习题

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本单元考点（5 个）

鞅的定义与基本例子下鞅与上鞅及其性质停时与可选停止定理鞅的收敛定理鞅在不等式估计中的应用

本单元练习题（9 题）

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1. 设 {X_n, F_n} 为上鞅，则下列结论必定成立的是（　） A. {−X_n, F_n} 是下鞅 B. {−X_n, F_n} 是上鞅 C. E[X_(n+1)|F_n] ≥ X_n D. E[X_n] 关于 n 单调不减

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2. 设 {S_n, n≥0} 为简单对称随机游动：S_0=0，每步以概率 1/2 取 +1 或 −1，则 {S_n} 关于其自然 filtration 是鞅。记 M_n = max_{0≤k≤n} S_k。由鞅的极大不等式（Doob 不等式），估计 P(M_16 ≥ 5) 的上界为（　） A. 4/5　B. 16/25　C. 25/16　D. 1/5

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3. 设 {Xₙ, n≥0} 为概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列，E|Xₙ|<∞ 且 Xₙ∈Fₙ，{Fₙ} 为递增的子σ-代数流。已知对任意 m<n，条件期望满足 E(Xₙ | Fₘ) = Xₘ，则下列结论正确的是：A. {Xₙ} 既是鞅又是下鞅也是上鞅　B. {Xₙ} 是下鞅但不是上鞅　C. {Xₙ} 是上鞅但不是下鞅　D. 仅能判断 {Xₙ} 是鞅，无法判断其是下鞅或上鞅

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4. 设 {S_n, n≥0} 为简单对称随机游动：S_0=0，每步以概率 1/2 取 +1 或 −1，则 {S_n} 关于其自然 filtration 是鞅。记 M_n = max_{0≤k≤n} |S_k|。用鞅的极大不等（Doob 不等式）估计 P(M_50 ≥ 10) 的上界，所得最严格的上界为（　） A. 1/4　B. 2/5　C. 1/2　D. 1

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5. 设 {Xₙ, n≥1} 是关于自然过滤 {Fₙ} 的鞅，且 E|Xₙ|<∞ 对每个 n 成立。下列关于鞅定义的说法正确的是（　）A. 对每个 n，有 E[Xₙ₊₁|Fₙ] = Xₙ；B. 对每个 n，有 E[Xₙ₊₁|Fₙ] = X₁；C. 鞅要求 E[Xₙ] 随 n 单调递增；D. 鞅只要求 E|X₁|<∞，不必对每个 n 可积。

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6. 设 {X_n, n≥0} 为关于 filtration {F_n} 的非负鞅，且 E[X_0]=1。由非负鞅的极大不等式（Ville 不等式），对任意 a>0，P(sup_{n≥0} X_n ≥ a) 的上界为多少？当 a=4 时该上界等于（　） A. 1/2　B. 1/3　C. 1/4　D. 1/8

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7. 设 {X_n, n≥0} 为关于 filtration {F_n} 的非负下鞅（特别地可为鞅），且 E[X_0]=4。由 Doob 极大不等式，对任意 a>0，P(max_{0≤k≤n} X_k ≥ a) 的上界为（　） A. E[X_n]/a　B. a·E[X_n]　C. E[X_n]/a²　D. E[X_0]/a²

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8. 设 {M_n, n≥0} 是关于 {F_n} 的鞅，M_0=0，且 τ = min{n≥0: M_n ∈ {−2, 3}} 为停时。已知每次 M_n 至多变化 1，故 τ < ∞ 且 |M_n| 有界。由可选停止定理，E(M_τ) 应等于多少？由此进一步可推出 P(M_τ = 3) 等于多少？A. E(M_τ)=0，P(M_τ = 3)=2/5　B. E(M_τ)=3，P(M_τ = 3)=3/5　C. E(M_τ)=1/2，P(M_τ = 3)=1/2　D. E(M_τ)=3/2，P(M_τ = 3)=2/5

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9. 设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量序列，P(ξₙ=1)=P(ξₙ=−1)=1/2，记 Sₙ=ξ₁+ξ₂+…+ξₙ（约定 S₀=0），{Fₙ} 为其自然过滤。下列各过程中，关于 {Fₙ} 是鞅的是（　） A. {Sₙ², n≥0} B. {Sₙ²+n, n≥0} C. {Sₙ²−n, n≥0} D. {nSₙ, n≥0}

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