大学随机过程（大学通用）上册《马尔可夫链》练习题

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本单元考点（5 个）

马尔可夫链的定义与转移概率矩阵切普曼-柯尔莫哥洛夫方程状态的分类与常返性周期、遍历性与平稳分布有限状态马尔可夫链的极限分布

本单元练习题（9 题）

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1. 设有限马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3,4}，转移概率为：状态1以1/2转移到2、以1/2停留于1；状态2以1转移到1；状态3以1转移到4；状态4以1/2转移到3、以1/2转移到1。下列关于状态分类的结论中正确的是（　） A. 全部状态均为常返态 B. 1、2为正常返非周期态（遍历态），3、4为非常返态 C. 全部状态均为非常返态 D. 3、4为常返态，1、2为非常返态

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2. 设马尔可夫链 {X(n)} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [1/2 1/2 0 1/4 1/4 1/2 0 1/4 3/4] 利用切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 p12^(2) = p11·p12 + p12·p22 + p13·p32 计算两步转移概率 p12^(2)，其值为 A. 3/8　B. 1/4　C. 1/2　D. 5/8

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3. 设有限马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，一步转移矩阵 P = [[1/2, 1/2, 0], [1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1]]，则该链的极限分布 lim(n→∞) P^(n)：A. 不存在　B. 存在且与初始分布无关　C. 存在且依赖初始分布　D. 每个元素均为 1/3

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4. 设有限状态马尔可夫链的状态空间为 {1,2}，一步转移矩阵 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]，且该链 irreducible 且非周期。记 π = (π₁, π₂) 为其极限分布，则 π₂ = ？ A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 3/4

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5. 设离散时间马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P=[[1/2,1/2,0],[0,1/2,1/2],[1/2,0,1/2]]。该链不可约且非周期（三个状态均有自环），从而极限分布存在且等于唯一平稳分布。求该链的极限分布 lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾（按状态 1,2,3 的顺序表示）。 A. (1/3, 1/3, 1/3) B. (1/2, 1/4, 1/4) C. (1/4, 1/2, 1/4) D. (1/2, 1/2, 0)

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6. 设有限马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率为：P(1→1)=1/2，P(1→2)=1/2；P(2→3)=1；P(3→1)=1。下列结论正确的是：A. 状态2是非常返状态　B. 三个状态都是常返状态　C. 仅状态1是常返状态　D. 状态3是非常返状态

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7. 设离散时间马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P=[[0,1],[1,0]]，即从状态1必到状态2，从状态2必到状态1。则该链状态的周期与链的遍历性判断正确的是： A. 周期为1，是遍历链 B. 周期为2，是遍历链 C. 周期为1，不是遍历链 D. 周期为2，不是遍历链

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8. 设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P，其中 P₁₁=0，P₁₂=1/2，P₁₃=1/2；P₂₁=1/2，P₂₂=0，P₂₃=1/2；P₃₁=1/2，P₃₂=1/2，P₃₃=0。由切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 P²₁₂ = ∑ₖ P₁ₖ·Pₖ₂，则二步转移概率 P₁₂(X从状态1经2步转移到状态2) 等于 A. 1/2　B. 1/4　C. 1/8　D. 3/4

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9. 设有限马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率为：P(1→2)=1；P(2→1)=1/2，P(2→3)=1/2；P(3→4)=1；P(4→3)=1。下列结论正确的是： A. 状态1是常返态 B. 状态3是常返态 C. 状态4是非常返态 D. 状态2是遍历态

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