大学泛函分析（大学通用）上册《Riesz表示定理与共轭算子》练习题

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本单元考点（5 个）

Riesz表示定理共轭算子的定义与存在性共轭算子的基本性质自伴算子与正规算子酉算子与等距同构

本单元练习题（18 题）

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1. 设 H 为平方可和数列空间 ℓ²，定义右移算子 U: H→H，U(x₁, x₂, x₃, …) = (0, x₁, x₂, x₃, …)。下列判断正确的是：A. U 是酉算子，因为 ‖Ux‖=‖x‖ 对所有 x∈H 成立　B. U 是等距算子但不是酉算子，因为 U 不是满射　C. U 是满射但不是等距算子　D. U 不满足 U*U = I

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2. 在实内积空间 R² 上定义内积 ⟨x,y⟩ = x₁y₁ + 4x₂y₂，线性算子 A: R²→R² 由 A(x₁,x₂) = (0, x₁) 给出。由 Riesz 表示定理可知，对每个 y∈R²，⟨Ax, y⟩ = ⟨x, z⟩ 确定唯一的 z∈R²，由此定义共轭算子 A* y = z。则 A*(1, 2) = ____。

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3. 在实内积空间 R²（标准内积）上定义线性算子 T：T(x,y) = (x+2y, 3y)。设 T* 为 T 的共轭算子，则 T*(1,0) = ____（按 (a,b) 形式作答）。

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4. 设 H 为复 Hilbert 空间，T 是 H 上的有界线性算子。下列命题正确的是（　） A. 若 T 为自伴算子，则 T 必为正规算子 B. 若 T 为正规算子，则 T 必为自伴算子 C. 自伴算子 T 的共轭算子 T* 满足 T* = -T D. 正规算子必满足 TT* = T*T，且自伴性与正规性互为充要条件

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5. 设 H 为 Hilbert 空间，U: H→H 为线性算子。下列关于 U 是酉算子的判断中，正确的是：A. 若 U 是等距算子（‖Ux‖=‖x‖ 对所有 x 成立），则 U 必为酉算子 B. 若 U 是酉算子，则 U 的共轭算子 U* 满足 U*U = UU* = I，且 U 保持内积不变 C. 若 U 满足 ‖Ux‖=‖x‖，则 U 一定是满射 D. 酉算子的共轭算子 U* 不再是酉算子

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6. 在实二维内积空间 R² 上定义加权内积 ⟨x,y⟩ = x₁y₁ + 2x₂y₂，线性算子 A 由 A(x₁,x₂) = (x₂, 0) 给出。由 Riesz 表示定理，存在唯一的共轭算子 A* 满足 ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A*y⟩，则 A* 为（　） A. A*(y₁,y₂) = (y₂, 0) B. A*(y₁,y₂) = (0, y₁/2) C. A*(y₁,y₂) = (0, 2y₁) D. A*(y₁,y₂) = (y₂/2, 0)

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7. 设 H 为 Hilbert 空间，U: H→H 为有界线性算子。已知 U 满足 U*U = I（I 为恒等算子），且 U 是满射。由酉算子的定义可知，此时 U 也满足 UU* = ____，且对任意 x∈H 有 ‖Ux‖ = ____（用含 x 的表达式填写），故 U 是 H 上的酉算子。

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8. 设 T 为复 Hilbert 空间 H 上的有界线性算子。下列关于自伴算子与正规算子的说法正确的是（　） A. 若 T 正规，则 T 必自伴 B. 若 T 自伴，则 T 必正规 C. 正规算子的充要条件是 T*T = -TT* D. 若 T 正规，则 ‖Tx‖ = ‖T*x‖ 对一切 x∈H 未必成立

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9. 设 H = L²[0,1]，定义连续线性泛函 f(x) = ∫₀¹ t·x(t)dt。由 Riesz 表示定理，存在唯一的 y ∈ H 使得 f(x) = ⟨x, y⟩ 对一切 x ∈ H 成立。则该表示元 y(t) = ____ ，且 ‖y‖² = ____ （按本空间内积范数计算）。

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10. 设 H 为无穷维 Hilbert 空间，U: H→H 为有界线性算子，且满足 ‖Ux‖=‖x‖ 对一切 x∈H 成立。下列结论中正确的是：A. U 必为酉算子　B. U*U = I　C. UU* = I　D. U 必不可逆

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11. 设 H = ℓ²，定义连续线性泛函 f(x) = x₁ + (1/2)x₂ + (1/3)x₃，其中 x = (x₁, x₂, x₃, …) ∈ ℓ²。由 Riesz 表示定理，存在唯一的 y ∈ H 使得 f(x) = ⟨x, y⟩（取标准内积 ⟨x, y⟩ = ∑ xₙ·yₙ 的共轭线性约定下仍使表示唯一）。则 y 为：A. y = (1, 1/2, 1/3, 1/4, …)　B. y = (1, 1/2, 1/3, 0, 0, …)　C. y = (1/3, 1/2, 1, 0, 0, …)　D. y = (1, 1/4, 1/9, 0, 0, …)

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12. 设 H = C²，定义线性算子 U: H→H 为 U(x, y) = (iy, ix)（其中 i 为虚数单位）。则下列关于 U 的判断中，正确的是：A. U 不是酉算子，因为 ‖U(x,y)‖² = 2‖(x,y)‖²　B. U 是酉算子，因为 U*U = UU* = I　C. U 是酉算子，但 U* ≠ U⁻¹　D. U 是等距算子但不是满射，故不是酉算子

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13. 设 H 为 Hilbert 空间，A: H→H 为有界线性算子。关于 A 的共轭算子 A*，下列结论正确的是（　） A. A* 总是有界线性算子，且对任意 x,y∈H 有 ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A*y⟩，且 ‖A*‖ = ‖A‖ B. 共轭算子 A* 仅当 H 为有限维时才存在 C. A* 满足对任意 x,y∈H 有 ⟨Ax,y⟩ = ⟨y,A*x⟩ D. A* 一般是共轭线性算子，不必是线性的

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14. 设 H = L²[1,e]，定义连续线性泛函 f(x) = ∫₁^e x(t)/t dt。由 Riesz 表示定理，存在唯一的 y ∈ H 使得 f(x) = ⟨x, y⟩ 对一切 x ∈ H 成立（内积取 ⟨x, y⟩ = ∫₁^e x(t)y(t)dt）。则 y(t) = ____，且 ‖f‖ = ____。

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15. 设 H = L²[0,2]，定义连续线性泛函 f(x) = ∫₀² (2−t)x(t)dt，x ∈ H。由 Riesz 表示定理，存在唯一的 y ∈ H 使得 f(x) = ∫₀² x(t)y(t)dt 对一切 x ∈ H 成立，则 y(t) = ____ ，且 ‖y‖ = ____。

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16. 设 H 为平方可和数列空间 ℓ²，定义左移算子 U: H→H，U(x₁, x₂, x₃, …) = (x₂, x₃, x₄, …)。记 {e₁, e₂, e₃, …} 为 H 的标准正交基。则共轭算子 U* 满足 U*e₁ = ____。

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17. 设 H = C³（内积为标准内积），定义有界线性算子 U: H→H 为 U(x, y, z) = (z, x, y)。已知 U 满足 U*U = UU* = I，故 U 为酉算子。则 U*(2, i, 3) = ____。

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18. 设 H = C²（取标准内积），定义线性算子 U: H→H 为 U(x, y) = ( c(x+y), c(x−y) )，其中 c > 0 为常数。若 U 是酉算子（即 U*U = UU* = I），则 c = ____。

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