大学泛函分析（大学通用）上册《对偶空间与弱收敛》练习题

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本单元考点（5 个）

对偶空间与第二对偶空间弱收敛与弱*收敛的定义弱拓扑与弱*拓扑Alaoglu定理自反空间的基本性质

本单元练习题（9 题）

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1. 设 X = c₀（收敛于 0 的数列全体，取上确界范数）。关于其对偶空间与第二对偶空间，下列结论正确的是： A. X* 同构于 l¹，且 X** 同构于 l∞，从而 X 不是自反空间 B. X* 同构于 l∞，且 X 是自反空间 C. X** 同构于 X 本身，故 X 是自反空间 D. X* 同构于 c（收敛数列空间），且 X** 同构于 l¹

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2. 设 X 为赋范线性空间，X* 为其对偶空间。下列关于弱拓扑与弱*拓扑的叙述正确的是：A. X 上弱拓扑由 X* 中全体泛函生成的，弱收敛指对每个 f∈X*，f(xₙ)→f(x)；B. X* 上弱拓扑与弱*拓扑总是完全相同；C. 弱*拓扑仅依赖 X 的子空间的作用，与 X 上的范数无关，故弱*收敛可脱离 X* 定义；D. 弱*收敛于 x* 仅要求在有限个泛函处收敛。

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3. 设 X 为赋范线性空间，下列关于收敛概念的陈述正确的是：A. 若序列 xₙ 弱收敛于 x，则必有 ‖xₙ−x‖→0　B. 若 fₙ 是 X 的对偶空间 X* 中的序列且对所有 x∈X 都有 fₙ(x)→f(x)，则称 fₙ 弱*收敛于 f　C. 弱收敛与依范数收敛是完全等价的两种概念　D. 弱*收敛是对偶空间中的序列在弱收敛意义下的另一种说法，二者定义相同

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4. 设 X 为赋范线性空间，J: X → X** 为自然嵌入映像，定义为 J(x)(f) = f(x)，对任意 f ∈ X*。下列关于 J 的命题中正确的是： A. J 必为 X 到 X** 上的满等距同构 B. J 是等距线性嵌入，但未必是满射；X 自反当且仅当 J(X) = X** C. J 仅当 X 有限维时才为单射 D. 对任意赋范线性空间 X 都有 J(X) = X**，故一切空间皆自反

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5. 设 X 为赋范线性空间，X* 为其对偶空间，J:X→X** 为典范嵌入。下列关于弱拓扑 σ(X,X*) 与弱*拓扑 σ(X*,X) 的说法正确的是：A. 若 J(X)≠X**，则 σ(X*,X) 不是 Hausdorff 拓扑　B. 弱*拓扑 σ(X*,X) 总是 Hausdorff 的，因为 X 的赋值泛函分离 X* 中的点　C. X 上的范数拓扑一般弱于弱拓扑 σ(X,X*)　D. 序列弱*收敛必蕴含范数收敛

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6. 设 X 为赋范线性空间，考察自反空间的基本性质，下列命题中正确的是（　）A. 自反空间的任意线性子空间（不必闭）必是自反空间　B. 若 X 自反，则其对偶空间 X* 可以不是自反空间　C. c₀ 是自反空间　D. 自反空间的任一闭子空间必是自反空间

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7. 设 X 为赋范线性空间，J: X→X** 为自然嵌入映射（J(x)(f)=f(x)，∀x∈X，f∈X*）。下列关于自反空间的结论中正确的是（　） A. X 自反当且仅当自然嵌入 J 是满射 B. 自反空间的对偶空间必为有限维空间 C. 若 X 自反，则自然嵌入 J 的范数必大于 1 D. 自反空间必为不可分空间

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8. 设 X 为无穷维可分 Hilbert 空间，{eₙ} 为其标准正交基，X* 由 Riesz 表示定理与 X 同构。下列关于 {eₙ} 的收敛性及相应拓扑的说法正确的是：A. {eₙ} 按范数收敛于 0，从而弱收敛于 0　B. {eₙ} 不弱收敛于 0，因为 ∥eₙ∥=1 不趋于 0　C. 对每个 f∈X*，f(eₙ)→0，故 {eₙ} 在弱拓扑 σ(X,X*) 下收敛于 0，但不按范数收敛　D. {eₙ} 在弱*拓扑 σ(X*,X) 下收敛于 0，但在弱拓扑下不收敛

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9. 设 X 为无限维赋范线性空间，X* 为其对偶空间。考虑以下四个陈述：① 若 {xₙ}⊂X 对任意 f∈X* 都有 f(xₙ)→f(x)，则称 xₙ 弱收敛于 x；② 若 {fₙ}⊂X* 对任意 x∈X 都有 fₙ(x)→f(x)，则称 fₙ 弱*收敛于 f；③ xₙ 弱收敛于 x 必蕴含 ‖xₙ−x‖→0；④ fₙ 弱*收敛于 f 必蕴含 supₙ‖fₙ‖<∞（由一致有界原理可保证）。其中正确陈述的个数是（　　） A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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