大学泛函分析（大学通用）上册《有界线性算子与连续线性泛函》练习题

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本单元考点（4 个）

有界线性算子的定义与性质算子范数与有界性连续性等价连续线性泛函及其范数有界线性算子空间的完备性

本单元练习题（17 题）

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1. 设 X 是赋范线性空间，Y 是 Banach 空间，B(X,Y) 表示从 X 到 Y 的全体有界线性算子按通常的线性运算与算子范数构成的空间。下列关于 B(X,Y) 的结论正确的是： A. B(X,Y) 是 Banach 空间 B. B(X,Y) 未必完备，只有 X 也是 Banach 空间时才完备 C. B(X,Y) 中的 Cauchy 列在算子范数下未必收敛到有界线性算子 D. B(X,Y) 中的收敛列的极限可以不是线性算子

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2. 设 T 为从欧氏空间 R² 到 R² 的线性算子，定义为 T(x₁,x₂)=(3x₁,4x₂)，向量范数取通常的欧氏范数 ‖x‖=√(x₁²+x₂²)。则 T 的算子范数 ‖T‖=____。

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3. 设 X = C[0,1]，赋以上确界范数 ‖f‖ = max_{t∈[0,1]} |f(t)|，定义算子 T: X→C[0,1] 为 (Tf)(t) = f(0) + 2∫₀ᵗ f(s)ds。已知 T 是有界线性算子，则其算子范数 ‖T‖ = ____

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4. 设 X 为赋范线性空间，T: X→Y 为线性算子，下列命题正确的是（　） A. 若 T 连续，则 T 必有界；反之 T 有界时 T 未必连续 B. 若 T 连续，则 T 必有界；反之 T 有界时 T 必连续，即连续与有界等价 C. T 有界当且仅当 T 将 X 中任意有界集映为 Y 中的有界集，且此时必有 ‖T‖≤1 D. 算子范数 ‖T‖=sup{‖Tx‖: ‖x‖≤1}，且总有 ‖Tx‖≤‖T‖·‖x‖ 对一切 x∈X 成立，故若 ‖T‖=0 则 T 不一定是零算子

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5. 设 X、Y 为赋范线性空间，T: X→Y 为线性算子，则下列命题正确的是（　） A. T 连续当且仅当 T 有界，且此时算子范数 ‖T‖ = sup{‖Tx‖ : ‖x‖≤1} B. T 有界当且仅当 T 将 X 中任一有界集映为 Y 中的有界集，但 T 连续与 T 有界无关 C. 若 T 在 x=0 处连续，则 T 有界，但反之不成立 D. 线性算子 T 连续当且仅当 ‖T‖ < +∞，其中 ‖T‖ 定义为 sup{‖x‖ : ‖Tx‖≤1}

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6. 设 X = C[0,1] 取上确界范数，定义算子 T: X→R 为 Tf = f(0) + 2f(1)。则下列结论正确的是（　　） A. T 是线性算子，且 ||T|| = 3 B. T 是线性算子，且 ||T|| = 1 C. T 是有界算子但不是线性算子 D. T 不是有界算子

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7. 设 T 是从赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 的线性算子，已知存在常数 M=4，使得对一切 x∈X 都有 ‖Tx‖≤4‖x‖。则 T 是____算子（填「有界」或「无界」），从而由有界性与连续性的等价关系可知 T 是____算子（填「连续」或「不连续」），且 ‖T‖ ____ 4（填「≤」或「>」）。

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8. 设 X = C[0,1] 取上确界范数，定义线性泛函 f(x) = ∫₀¹ x(t) dt（x ∈ X）。则 f 的算子范数 ||f|| = （　） A. 1/2　B. 1　C. 2　D. ∞

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9. 设 X = C[0,1] 取上确界范数 ‖f‖ = max_{t∈[0,1]} |f(t)|，定义算子 T: X→R 为 Tf = ∫₀¹ f(t)dt。则 T 是线性算子，且其有界性满足 |Tf| ≤ ____ ‖f‖，从而 T 的算子范数 ‖T‖ = ____。

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10. 设 X = C[0,1]（范数 ‖f‖ = max{|f(t)|: t∈[0,1]}），定义线性泛函 F: X→R 为 F(f) = f(1/2) − 2∫₀¹ f(t)dt。已知线性泛函连续当且仅当有界，且此时算子范数 ‖F‖ = sup{|F(f)|: ‖f‖≤1}。则 F 是连续的，且 ‖F‖ = （　） A. 1 B. 3/2 C. 3 D. 2

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11. 设 T 是从赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 的线性算子，已知 T 在 X 中某一点 x₀ 处连续，且存在 x₁∈X，x₁≠0，使得 ‖Tx₁‖=6，‖x₁‖=2。则 T 的算子范数 ‖T‖ 的最小可能取值为____。

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12. 设 X = C[0,1]，范数 ‖f‖ = max_{t∈[0,1]} |f(t)|，定义算子 T: X→R 为 Tf = 3f(1/2) − f(0)。则 T 是有界线性算子，且其算子范数 ‖T‖ =（　　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5

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13. 设 X 为赋范线性空间（X 可为非完备），Y 为 Banach 空间，B(X,Y) 表示从 X 到 Y 的全体有界线性算子赋予算子范数构成的空间。下列结论中正确的是（　） A. B(X,Y) 一定是 Banach 空间，与 X 是否完备无关 B. 仅当 X 完备时 B(X,Y) 才完备 C. B(X,Y) 完备当且仅当 X 与 Y 都完备 D. 若 {Tₙ} 按算子范数是 Cauchy 列，则它逐点收敛但不一定收敛于有界算子

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14. 设 X 为赋范线性空间，Y 为 Banach 空间，B(X,Y) 表示从 X 到 Y 的全体有界线性算子构成的空间，其线性运算按通常方式定义，范数取算子范数。设 Tₙ 是 B(X,Y) 中的 Cauchy 列，则对每个 x∈X，数列 {Tₙx} 在 Y 中____（填：收敛/不收敛），从而可定义 T(x)=lim(n→∞) Tₙx，且 T∈B(X,Y) 且 Tₙ 按算子范数收敛于 T。这表明：当 Y 完备时，B(X,Y) 是____空间。

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15. 设 X=C[0,1]，范数取 ‖f‖=max{|f(t)|: t∈[0,1]}，定义算子 T: X→X 为 (Tf)(t)=3∫₀ᵗ f(s)ds。已知线性算子连续与有界等价，T 的算子范数 ‖T‖=sup{‖Tf‖: ‖f‖≤1}=____。

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16. 设 X = C[0,1]，赋以上确界范数 ‖f‖ = max_{t∈[0,1]} |f(t)|，定义泛函 T: X→R 为 Tf = 2f(0) − 3f(1)。则 T 是有界线性泛函，其算子范数 ‖T‖ = ____。

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17. 设 X=C[0,1]，范数取 ‖f‖=max{|f(t)|: t∈[0,1]}。定义算子 T: X→X 为 (Tf)(t)=2t·∫₀¹ f(s)ds。已知 T 为线性算子，则 T 的算子范数 ‖T‖=____

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