大学泛函分析（大学通用）上册《紧算子》练习题

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本单元考点（5 个）

紧算子的定义与基本例子紧算子空间与算子的紧性性质紧算子的谱理论有限秩算子与紧算子的逼近紧算子与本征值问题

本单元练习题（18 题）

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1. 设 X 为无穷维赋范线性空间，K(X) 表示 X 上紧线性算子全体。下列结论正确的是：A. 恒等算子 I: X→X 属于 K(X)　B. 若 T∈K(X) 且可逆（有有界逆），则 X 必为有限维　C. 若 S,T 有界，则 ST 必为紧算子　D. 若 A,B∈K(X)，则 αA+βB（α,β 为数）可能不属于 K(X)

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2. 设 T: l²→l² 为对角算子，对任意 x=(x₁, x₂, x₃, …)∈l²，定义 Tx=(x₁, x₂/2, x₃/3, …, xₙ/n, …)。记 Tₙ 为 T 的截断：Tₙx=(x₁, x₂/2, …, xₙ/n, 0, 0, …)，则每个 Tₙ 为有限秩算子。已知 ||T−Tₙ||=____（用含 n 的表达式作答），由有限秩算子的一致极限可知 T 是紧算子（填“是”或“不是”）。

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3. 设 ℓ² 为平方可和数列空间，T: ℓ²→ℓ² 定义为 Tx=(x₁/1, x₂/2, x₃/3, …)。对每个正整数 k，令 Sₖx=(x₁/1, x₂/2, …, xₖ/k, 0, 0, …)。已知有限秩算子必为紧算子，且紧算子的一致极限仍为紧算子。记 ‖·‖ 为 ℓ² 的通常范数，则 ‖T−S₇‖=____，从而由 lim(k→∞) ‖T−Sₖ‖=0 可断定 T 是紧算子。

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4. 设 H 为无穷维可分 Hilbert 空间，下列关于紧算子的说法正确的是： A. H 上所有有限秩算子都是紧算子 B. 紧算子必为有限秩算子 C. 有限秩算子列的范数极限必为有限秩算子 D. 单位算子 I 在 H 上是紧算子

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5. 设 X 为无穷维 Banach 空间，T: X→X 为线性算子。下列关于紧算子的说法正确的是：A. 若 T 连续，则 T 必为紧算子　B. 单位算子 I: X→X 是紧算子　C. 若 T 把 X 的单位球映射为相对紧集（其闭包是紧集），则 T 是紧算子　D. 若 T 紧且 X 无穷维，则 T 必可逆

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6. 设 X 为无穷维 Banach 空间，T: X→X 为紧算子。关于 T 的谱 σ(T)，下列结论正确的是：A. σ(T) 中每个非零谱点必为 T 的特征值，且相应特征子空间是有限维的；B. σ(T) 必为有限集；C. 0 一定不是 T 的特征值；D. σ(T) 的非零谱点可以是 T 的连续谱点且特征子空间为无限维。

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7. 设 T 是无穷维可分 Hilbert 空间 H 上的紧算子，已知 T 的非零本征值恰为 λ₁=1/2, λ₂=1/3, λ₃=1/4（每个本征值的本征子空间均为一维）。若 x 是属于本征值 λ₃ 的单位本征向量，且 T³x = αx，则 α = ____；由紧算子谱理论，T 的非零谱点只能是这些本征值，故非零谱点个数为 ____。

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8. 设 T 是 L²[0,1] 上的积分算子：(Tf)(x)=∫₀¹ sin(x)cos(y)f(y)dy。由于核函数 k(x,y)=sin(x)cos(y) 可写成 g(x)h(y) 的形式，其中 g(x)=sin(x)，h(y)=cos(y)，故 T 的值域是一维子空间，即 T 是秩为 ___ 的有限秩算子，从而 T 必为紧算子。

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9. 设 X 为无穷维 Banach 空间，T: X→X 为线性算子。下列关于紧算子的说法正确的是：A. 若 T 紧，则恒等算子 I 也必紧　B. 紧算子一定有界　C. 有限秩有界算子不可能紧　D. 两个紧算子之和未必紧

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10. 设 H 为无穷维 Hilbert 空间，T 为 H 上的紧算子。下列说法正确的是： A. T 必可用 H 上有限秩算子按算子范数逼近 B. T 的值域必为有限维空间 C. T 的范数 ‖T‖ 必为 0 D. H 上任意有界算子都是紧算子

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11. 设 T 是无穷维 Hilbert 空间 H 上的紧算子，其非零本征值至多可数且只能以 0 为聚点。下列关于 T 的本征值问题的结论中，正确的是（　） A. T 的所有非零本征值都是有限重的，且对任意 δ>0，模大于 δ 的本征值只有有限个 B. T 必有非零本征值 C. T 的非零本征值可以有非零聚点 D. 若 λ 是 T 的非零本征值，则对应本征子空间必为无穷维

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12. 设紧算子 T 作用在无穷维可分 Hilbert 空间 ℓ² 上，对任意 x=(x₁, x₂, x₃, …)∈ℓ²，定义 Tx=(x₁, x₂/4, x₃/9, x₄/16, …)，即第 n 个分量为 xₙ/n²。已知 T 为紧算子，其非零谱点恰为本征值 1/n² (n=1,2,3,…)。则 T 满足 |λ|>1/16 的非零本征值共有 ___ 个。

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13. 设 T 是无穷维可分 Hilbert 空间 H 上的紧算子，λ 是 T 的非零谱点。请填空：λ 必为 T 的____（填“特征值”或“连续谱点”），且对应的特征子空间 dim ker(T−λI) 必为____（填“有限”或“无限”）。

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14. 设 ℓ² 上的对角算子 T：T(x₁, x₂, x₃, …) = (x₁, x₂/2, x₃/3, …)，并设有限秩算子 Tₙ(x₁, x₂, …) = (x₁, x₂/2, …, xₙ/n, 0, 0, …)。已知 Tₙ 按算子范数逼近 T，记余项 eₙ = ‖T − Tₙ‖。则 eₙ = ____，且使 eₙ ≤ 1/10 的最小正整数 n = ____。

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15. 设 H 为无穷维可分 Hilbert 空间，{eₙ}为其标准正交基。下列算子中是紧算子的是：A. 恒等算子 Ix = x　B. 对角算子 Teₙ = (1/n)eₙ　C. 对角算子 Seₙ = eₙ（即 I 的另一写法）　D. 算子 Reₙ = neₙ

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16. 设 X 为无穷维赋范线性空间，K(X) 表示 X 上全体紧线性算子之集。下列命题正确的是：A. K(X) 在算子范数下是闭的线性子空间　B. 两个有界线性算子的乘积必为紧算子　C. 紧算子的逆算子（若存在且定义在全空间）必为紧算子　D. 恒等算子 I: X→X 是紧算子

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17. 设 T 是无穷维 Banach 空间 X 上的紧算子，λ 是 T 的一个非零谱点且 λ≠0。请填空：则 λ 必为 T 的____，且对任意对应的非零特征向量 x，Tx = ____（用 λ 与 x 表示）。

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18. 设 T 是 L²[0,1] 上的积分算子：(Tf)(x)=∫₀¹ x·y·f(y)dy。已知该算子是有限秩算子，且其算子范数等于核函数分离的两个因子范数之积，即 ||T|| = (∫₀¹ x²dx)^(1/2) × (∫₀¹ y²dy)^(1/2)。则算子范数 ||T|| = ___。

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