大学泛函分析（大学通用）上册《Hahn-Banach定理》练习题

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本单元考点（5 个）

Hahn-Banach定理的实形式Hahn-Banach定理的复形式保范延拓定理与应用几何形式与凸集分离定理非零连续线性泛函的存在性推论

本单元练习题（9 题）

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1. 设 X 为赋范线性空间，M 为其真闭子空间，x₀ ∈ X 且 x₀ ∉ M，记 d = inf{‖x₀−m‖ : m ∈ M} = 2。由 Hahn-Banach 定理的非零连续线性泛函存在性推论，必存在 f ∈ X* 满足下列各项，其中正确的是 A. f 在 M 上恒为零，f(x₀) = 2，且 ‖f‖ = 1 B. f 在 M 上恒为零，f(x₀) = 2，且 ‖f‖ = 2 C. f 在 M 上恒为零，f(x₀) = 1，且 ‖f‖ = 1 D. f(x₀) = 2，但 f 未必在 M 上有界

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2. 设 X 是实赋范线性空间，M 是 X 的真子空间，f 是定义在 M 上的连续线性泛函。由 Hahn-Banach 保范延拓定理，下列结论正确的是： A. f 可延拓为 X 上的连续线性泛函 F，且 ‖F‖ = ‖f‖ B. f 可延拓为 X 上的连续线性泛函 F，且 ‖F‖ > ‖f‖ C. f 可延拓为 X 上的连续线性泛函 F，且 ‖F‖ ≤ ‖f‖/2 D. f 不能延拓到整个 X 上

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3. 设 X 为实赋范空间，A、C 为 X 中两个凸集。下列关于 Hahn-Banach 定理几何形式（凸集分离定理）的叙述中，正确的是哪一项？ A. X 中任意两个不相交的凸集都可用超平面严格分离 B. 当 A 为紧凸集、C 为闭凸集且 A∩C=∅ 时，存在超平面将 A 与 C 严格分离 C. 分离 A 与 C 的超平面必为某个连续线性泛函的零空间 D. 几何形式的成立必须假设空间 X 完备

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4. 设 M 是赋范线性空间 X 的子空间，f 是 M 上的有界线性泛函，‖f‖ 表示 f 在 M 上的范数。由 Hahn-Banach 保范延拓定理，下列结论正确的是： A. f 可延拓为 X 上的有界线性泛函 F，且 ‖F‖ = ‖f‖ B. f 可延拓为 X 上的有界线性泛函 F，但必有 ‖F‖ > ‖f‖ C. f 可延拓为 X 上的线性泛函 F，但不保证 F 有界 D. f 延拓到 X 后的范数由延拓方式决定，可能小于 ‖f‖

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5. 设 X 为实赋范线性空间，M 为其子空间，f 是 M 上的有界线性泛函，记 ‖f‖_M 表示 f 在 M 上的范数。f 在 X 上的保范延拓 F 应满足的条件是： A. F|_M = f，且 ‖F‖ = ‖f‖_M B. F|_M = f，且 ‖F‖ ≥ ‖f‖_M C. F|_M = f，且 ‖F‖ ≤ ‖f‖_M D. 只需 F 在 M 上与 f 取值相同，无需控制范数

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6. 设 X=R²（取欧氏范数），M=span{(1,1)} 为 X 的子空间，定义 M 上线性泛函 f(λ,λ)=2λ。由 Hahn-Banach 保范延拓定理，f 可延拓为 X 上的有界线性泛函 g。已知任一延拓 g(x,y)=ax+by 必须满足 a+b=2，则 ‖g‖ 的结论是： A. 存在延拓 g 使 ‖g‖=√2，且任何延拓均有 ‖g‖≥√2 B. 存在延拓 g 使 ‖g‖=2，且任何延拓均有 ‖g‖≥2 C. 任何延拓均有 ‖g‖=2√2 D. 该 f 的保范延拓可能不存在

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7. 设 X 为实赋范线性空间，M 为 X 的子空间，f 是 M 上的有界线性泛函，且 ‖f‖=1（f 在 M 上的范数）。则下列说法正确的是（　） A. f 必可延拓为 X 上的有界线性泛函 F，且 ‖F‖=1 B. f 可延拓为 X 上的有界线性泛函 F，但必有 ‖F‖>1 C. f 不一定能延拓到整个 X 上 D. f 只能唯一地延拓为 X 上的有界线性泛函

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8. 设 X 为实赋范空间，A 为 X 中的开凸集，B 为 X 中的凸集，且 A∩B=∅。依据 Hahn-Banach 定理的几何形式（凸集分离定理），下列结论中正确的是哪一项？ A. 存在非零连续线性泛函 f 与实数 r，使得 f(a)＜r≤f(b) 对一切 a∈A，b∈B 成立 B. 存在非零连续线性泛函 f，使得 f(a)=f(b) 对一切 a∈A，b∈B 成立 C. A 与 B 一定能被超平面严格分离，且分离超平面唯一 D. 只有当 B 也是开集时，A 与 B 才能被超平面分离

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9. 设 X 为实赋范空间，A 为 X 中的紧凸集，B 为 X 中的闭凸集，且 A∩B=∅。根据 Hahn-Banach 定理的几何形式（凸集分离定理），下列结论中必然成立的是哪一项？ A. 只能保证存在 f∈X* 使 f(a)≤f(b) 对一切 a∈A, b∈B 成立，且等号可能在某些点处取到 B. 存在 f∈X*、实数 α 及 ε>0，使得 sup{f(a):a∈A} ≤ α−ε < α+ε ≤ inf{f(b):b∈B} C. 分离泛函必须满足 sup{f(a):a∈A} = inf{f(b):b∈B} D. 只有当 A 与 B 都有界时，才能得到上述严格分离的连续线性泛函

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