大学泛函分析（大学通用）上册《Hilbert空间》练习题

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本单元考点（5 个）

内积空间与Hilbert空间正交、正交补与正交分解投影定理规范正交基与Bessel不等式Parseval等式及其应用

本单元练习题（9 题）

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1. 设 f(x)=x 在 [-π,π] 上按标准正交基 {1/√(2π), cos(nx)/√π, sin(nx)/√π} 展开，已知其 Fourier 系数为 a₀=0，aₙ=0，bₙ=2(−1)^(n+1)/n (n≥1)。利用 Parseval 等式，级数 ∑ₙ₌₁^∞ 1/n² 的值为 A. π²/3　B. π²/6　C. π²/4　D. π²/12

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2. 设 {e₁, e₂, e₃, …} 是内积空间 H 中的一组规范正交系，x ∈ H，记 xₙ = ⟨x, eₙ⟩。根据 Bessel 不等式，下列结论必然成立的是： A. ∑ₙ₌₁^∞ |xₙ|² ≤ ‖x‖² B. ∑ₙ₌₁^∞ |xₙ|² ≥ ‖x‖² C. ∑ₙ₌₁^∞ |xₙ|² = ‖x‖² 对任意 x 都成立 D. ∑ₙ₌₁^∞ |xₙ| < ∞

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3. 设 H=R³ 取通常内积，M=span{(1,1,0)} 为 H 的一维子空间，x=(2,0,1)。由投影定理，x 可唯一分解为 x=y+z，其中 y∈M 且 z⊥M。则 z 的范数 ||z|| 等于（　） A. 1　B. √2　C. √3　D. 2

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4. 在实内积空间 R⁴（标准内积）中，设 M = span{(1,1,1,1), (1,1,0,0)}，则正交补 M⊥ 为（　　） A. span{(1,-1,0,0), (0,0,1,-1)} B. span{(1,0,-1,0), (0,1,0,-1)} C. span{(1,-1,1,-1)} D. span{(1,1,1,1), (-1,1,0,0)}

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5. 设 H 为实内积空间，x, y ∈ H，且 ‖x‖ = 2，‖y‖ = 1，x 与 y 正交。则 ‖x + y‖² 的值为（　） A. 3 B. 5 C. 4 D. 8

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6. 在内积空间 R³（标准内积）中，设 M = span{(1,0,1)}，则 M⊥ 为（　　） A. span{(1,0,-1), (0,1,0)}　B. span{(1,0,1), (0,1,0)}　C. span{(1,-1,1)}　D. span{(0,1,0)}

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7. 在内积空间 L²[0,1]（内积为 ∫₀¹ f(x)g(x)dx）中，设 M = span{1}（1 表示常值函数），f(x) = x 的正交分解为 f = α·1 + g，其中 g ∈ M⊥，则 g 为（　　） A. x − 1/2 B. x + 1/2 C. x − 1/3 D. 2x − 1

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8. 设 f(x)=x² 在 [-π,π] 上的 Fourier 展开为 f(x)∼a₀/2+∑ₙ₌₁^∞(aₙcos nx+bₙsin nx)，其中 a₀=2π²/3，aₙ=4/n²，bₙ=0。利用 Parseval 等式 (1/π)∫₋π^π f²(x)dx = a₀²/2+∑ₙ₌₁^∞(aₙ²+bₙ²)，则级数 ∑ₙ₌₁^∞ 1/n⁴ 的值为（　） A. π⁴/90　B. π⁴/45　C. π⁴/36　D. 2π⁴/45

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9. 设实内积空间 H 中，x, y ∈ H 满足 ‖x−y‖ = 3，‖x+y‖ = 1，则内积 ⟨x, y⟩ 的值为（　） A. 2 B. −2 C. 4 D. −4

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