大学泛函分析（大学通用）上册《一致有界原理与共鸣定理》练习题

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本单元考点（5 个）

一致有界原理（共鸣定理）逐点有界与一致有界的关系Banach-Steinhaus定理共鸣定理在函数项级数中的应用强收敛与算子范数收敛

本单元练习题（18 题）

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1. 设 X 为 Banach 空间，T_n: X→Y 为有界线性算子序列。若对每个 x∈X，lim(n→∞) T_n x 都存在（强收敛），则下列结论正确的是：A. 算子范数 ‖T_n‖ 必收敛于 sup_n ‖T_n‖　B. {‖T_n‖} 一致有界　C. ‖T_n‖ 必收敛于 0　D. ‖T_n‖ 必收敛于 1

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2. 设 X=c₀（收敛于 0 的数列全体，范数 ||x||=max|xₖ|，该空间完备）。对每个正整数 n，定义有界线性泛函 fₙ: X→R 为 fₙ(x)=n·xₙ。由共鸣定理（Banach-Steinhaus 定理）可断言：由于 supₙ ||fₙ|| = ____，必存在某个 x∈c₀，使得数列 {|fₙ(x)|} 无界。

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3. 设 X=C[0,1]（赋上确界范数），对每个正整数 n 定义线性泛函 Tₙ(f)=n∫₀¹ tⁿ f(t)dt。已知对每个 f∈C[0,1]，数列 {Tₙ(f)} 有界（即 {Tₙ} 点态有界）。由一致有界原理（共鸣定理）可知 supₙ‖Tₙ‖<∞，则 supₙ‖Tₙ‖=____。

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4. 设 X=C[0,1]，赋上确界范数 ||f||=max_{x∈[0,1]}|f(x)|。对每个正整数 n，定义线性泛函 T_n(f)=∫₀¹ sin(πx/n)·f(x)dx。由共鸣定理，{T_n} 点态有界时 sup_n ||T_n||<∞。已知每个 ||T_n||=∫₀¹ sin(πx/n)dx，则 sup_n ||T_n||=____

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5. 设 X 为 Banach 空间，{Tₙ} 是从 X 到赋范空间 Y 的一列有界线性算子。若对每一点 x∈X， supₙ‖Tₙx‖ < ∞（即 {Tₙx} 点态有界），则由一致有界原理（共鸣定理）可推出：　A. supₙ‖Tₙ‖ < ∞　B. 每个 Tₙ 都是紧算子　C. supₙ‖Tₙx‖ 在每一点 x 处趋于 0　D. {Tₙ} 必在 X 上逐点收敛于某个有界线性算子

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6. 设 X 为 Banach 空间，{T_n} 是从 X 到赋范空间 Y 的一列有界线性算子。若对每个 x∈X，数列 {||T_n x||} 都有界，则下列结论正确的是：A. 存在常数 M 使得对所有 n 及所有 ||x||≤1 的 x，有 ||T_n x||≤M（即 sup_n ||T_n||<∞）B. 对每个 x∈X，有 sup_n ||T_n x||=∞ C. {T_n} 必一致收敛于某有界线性算子 D. 每个 T_n 的范数 ||T_n||=1

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7. 设 X 为 Banach 空间，{Tₙ} 是从 X 到赋范空间 Y 的一列有界线性算子。对每个 x∈X，数列 {‖Tₙx‖} 都有界。又已知对某组基下每个 x 可写为 x=e₁+e₂ 的收敛和，且 supₙ‖Tₙe₁‖=2，supₙ‖Tₙe₂‖=3。下列结论正确的是：A. 存在常数 M 使 supₙ‖Tₙ‖≤M 成立　B. 仅有点态有界不能保证 {‖Tₙ‖} 一致有界，故本题无法得出 supₙ‖Tₙ‖<∞　C. 必有 supₙ‖Tₙ‖≤5　D. 必有 supₙ‖Tₙ‖=6

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8. 设 X=C[0,1]（范数 ||f||=max|f(t)|），对每个正整数 n 定义有界线性泛函 T_n: X→R，T_n f = n∫₀^(1/n) f(t)dt。由于对每个固定的 f∈X，数列 {|T_n f|} 都有界，由 Banach-Steinhaus 定理知 sup_n ||T_n|| 有限。试直接计算：sup_n ||T_n|| = ____

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9. 设 X 为 Banach 空间，Y 为赋范空间，{Tₙ} 是从 X 到 Y 的一列有界线性算子。下列结论中由一致有界原理（共鸣定理）可以直接推出的是 A. 若 supₙ‖Tₙ‖ = ∞，则对任意 x∈X 都有 supₙ‖Tₙx‖ = ∞ B. 若 supₙ‖Tₙ‖ = ∞，则存在 x₀∈X 使得 supₙ‖Tₙx₀‖ = ∞ C. 若对每一点 x∈X 有 supₙ‖Tₙx‖ < ∞，则 supₙ‖Tₙ‖ = ∞ D. 若 supₙ‖Tₙ‖ = ∞，则 {Tₙ} 在 X 的每一点处都无界

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10. 设 l¹ 为绝对可和数列空间。定义算子 T_n: l¹→l¹ 为 T_n(x₁,x₂,…)=(x₁,x₂,…,x_n,0,0,…)。已知 T_n 为有界线性算子，且对每个 x∈l¹，lim(n→∞) T_n x = x（按 l¹ 范数），即 T_n 强收敛于恒等算子 I。则算子范数 lim(n→∞) ‖T_n - I‖ = ____。

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11. 设 X 为 Banach 空间，Y 为赋范空间，{T_n} 是从 X 到 Y 的一列有界线性算子。已知对每个 x∈X，数列 {||T_n x||} 都有界。由 Banach-Steinhaus 定理（共鸣定理）可断定：sup{||T_n x|| : n≥1} 在整个空间 X 上的整体有界性成立，且由此还能得到什么结论？下列说法正确的是 A. 存在常数 M>0，使得 sup{||T_n|| : n≥1} ≤ M B. 每个 T_n 的算子范数都等于 1 C. {T_n x} 对每个 x∈X 必收敛 D. sup{||T_n x|| : n≥1} ≤ 1 对每个 x∈X 成立

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12. 设 X=C[0,1]（最大值范数），定义算子列 Tₙ: X→R，Tₙf = n∫₀^(1/n) f(t)dt（n=1,2,…）。则每个 Tₙ 都是有界线性算子，且对每个固定的 f∈X，数列 {|Tₙf|} 有界。由一致有界原理（共鸣定理），sup{‖Tₙ‖ : n≥1} = ____ 。

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13. 设 X=C[0,1]（赋上确界范数），定义线性泛函 Tₙ(f)=n∫₀^(1/n) f(t)dt（n=1,2,…）。已知对每个 f∈C[0,1]，{Tₙ(f)} 有界。记 M=supₙ ‖Tₙ‖（算子范数），则由一致有界原理可保证每个 f∈C[0,1] 满足 supₙ|Tₙ(f)| ≤ M‖f‖，且 ‖Tₙ‖=____。

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14. 设 X 为 Banach 空间，Y 为赋范线性空间，{T_n} 是从 X 到 Y 的一列有界线性算子。若对每个 x∈X，数列 {||T_n x||} 都有界，则下列结论中一定成立的是（　） A. 存在常数 M>0，使得对一切 n 与一切 x∈X，有 ||T_n x|| ≤ M||x|| B. 数列 {||T_n||} 单调递增且有界 C. 对每个 x∈X，极限 lim(n→∞) T_n x 必存在 D. 算子列 {T_n} 在 X 上范数一致收敛于某有界线性算子

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15. 设 X 为 Banach 空间，{Tₙ} 为从 X 到赋范空间 Y 的一列有界线性算子，且 supₙ‖Tₙ‖ = ∞。则下列结论必然成立的是（　） A. 存在 x₀∈X，使得 {‖Tₙx₀‖} 无界 B. 对任意 x∈X，{‖Tₙx‖} 均无界 C. 存在 x₀∈X，使得 ‖Tₙx₀‖→∞ D. {Tₙ} 在 X 上处处收敛

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16. 设 X 为 Banach 空间，Y 为赋范空间，{Tₙ} 为 X 到 Y 的一列有界线性算子。已知对每个 x∈X，数列 {‖Tₙx‖} 有界（界可依赖 x）。下列结论正确的是：A. 存在常数 M>0，使 ‖Tₙ‖≤M 对一切 n 成立　B. 必有 sup(n)‖Tₙ‖=∞　C. 每个 x∈X 都满足 sup(n)‖Tₙx‖=+∞　D. 只能保证 Tₙ 在有限维子空间上一致有界，无法推出 ‖Tₙ‖ 整体有界

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17. 设 X=C[0,1]，赋上确界范数。定义线性泛函 T_n(f)=n∫₀^(1/n) x f(x)dx（n=1,2,3,…）。由共鸣定理（一致有界原理），若对每个 f∈X 数列 {T_n(f)} 有界，则 sup_n ||T_n|| < ∞。已知对每个 f∈C[0,1]，{T_n(f)} 确实有界，则 sup_n ||T_n|| = ____

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18. 设 X 为 Banach 空间，Y 为赋范空间，{Tₙ} 是从 X 到 Y 的一列有界线性算子。若 supₙ‖Tₙx‖ < ∞ 对每个 x∈X 都成立，则由一致有界原理（共鸣定理）可得 supₙ‖Tₙ‖ = ____。

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