大学泛函分析（大学通用）上册《谱理论初步》练习题

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本单元考点（5 个）

谱集与特征值的概念点谱、连续谱与剩余谱谱半径公式有界线性算子谱的有界性与闭性谱集与预解式的基本性质

本单元练习题（9 题）

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1. 设 X 为复 Banach 空间，T ∈ B(X) 为有界线性算子，ρ(T)、σ(T) 分别表示 T 的预解集与谱集。下列结论正确的是：A. σ(T) 是闭集且为有界集，从而是复平面上的紧集　B. σ(T) 是开集但不一定有界　C. 若 λ ∉ σ(T)，则 λ 必在以 T 的范数为半径的闭圆盘之外　D. ρ(T) 是有界集

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2. 设 T 是复 Banach 空间 X 上的有界线性算子，λ₀ 是 T 的特征值。下列关于 λ₀ 的说法正确的是：A. λ₀ ∈ ρ(T)（预解集）　B. λ₀ ∈ σ(T)（谱集）　C. λ₀ ∉ σ(T)　D. λ₀ 与 T 的谱集关系无法确定

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3. 设 T 是复 Banach 空间 X 上的有界线性算子，λ∈C。若存在非零元 x∈X 使 Tx=λx，则下列结论正确的是：A. λ∈ρ(T)（预解集）　B. λ∈σ(T)（谱集）且 λ 是 T 的特征值　C. λ∉σ(T)　D. λ−T 一定可逆

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4. 设 T 是空间 ℓ² 上的有界线性算子，定义为 T(x₁, x₂, x₃, …) = (x₁/2, x₂/3, x₃/4, …)。记 T 的谱半径为 r(T)，则 r(T) 等于（　） A. 1　B. 1/2　C. 1/3　D. 0

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5. 设 X 为 Banach 空间，T 是 X 上的有界线性算子。下列关于 T 的谱集 σ(T) 的结论正确的是：A. σ(T) 是复平面上的有界闭集，且包含于以 ∥T∥ 为半径的圆盘内 B. σ(T) 是开集，且无界 C. σ(T) 必为空集 D. σ(T) 是有界集但不一定是闭集

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6. 设 X 为复 Banach 空间，T 是 X 上的有界线性算子，‖T‖=2，σ(T) 与 ρ(T) 分别为 T 的谱集与预解集。根据有界线性算子谱的有界性与闭性，下列结论正确的是（　） A. σ(T) 是复平面上的有界闭集，且 σ(T) 包含于集合 {λ∈C：|λ|≤2} B. σ(T) 可能是无界集 C. 若 λ∈ρ(T)，则必有 |λ|≤2 D. ρ(T) 必为复平面上的有界集

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7. 设 X 为无限维复 Banach 空间，T: X→X 为有界线性算子。记 σₚ(T) 为点谱（特征值全体），σc(T) 为连续谱，σr(T) 为剩余谱。考虑下列命题：甲：若 λ∉σp(T) 且 Range(T−λI) 在 X 中不稠密，则 λ∈σr(T)；乙：若 λ∈σc(T)，则 Range(T−λI) 在 X 中稠密且 λ∉σp(T)；丙：σp(T)∪σc(T)∪σr(T)=σ(T)，且三者两两不交。下列结论正确的是 A. 仅甲、乙正确　B. 仅乙、丙正确　C. 甲、乙、丙均正确　D. 仅甲正确

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8. 设 T 为复 Banach 空间 X 上的有界线性算子，σ(T) 为其谱集，r(T)=sup{|λ|: λ∈σ(T)} 为谱半径。已知 T 有两个特征值 λ₁=1 和 λ₂=-4，且 T 的谱集恰由这两个特征值组成。下列结论正确的是：A. σ(T)={1,-4}，r(T)=4　B. σ(T)={1,-4}，r(T)=1　C. σ(T)={-4}，r(T)=4　D. σ(T)={1,-4}，r(T)=-4

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9. 设 X 为复 Banach 空间，T 是 X 上的有界线性算子，谱半径 r(T)=lim(n→∞) ‖Tⁿ‖^(1/n)。利用有界线性算子谱的有界性与闭性判断：A. σ(T) 是非空有界闭集，且 σ(T)⊂{λ: |λ|≤‖T‖}　B. σ(T) 是开集且可能无界　C. ρ(T) 是有界集　D. σ(T) 中任意点的模必大于 ‖T‖

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