大学泛函分析（大学通用）上册《开映射定理与闭图像定理》练习题

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本单元考点（5 个）

开映射定理逆映射定理闭图像定理开映射与闭图像定理的应用等价范数定理

本单元练习题（9 题）

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1. 设 X、Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 是线性算子。考察下列四个命题：甲：若 T 的图像 G(T)={(x,Tx): x∈X} 在 X×Y 中闭，则 T 连续；乙：若 T 连续，则 G(T) 闭；丙：若 G(T) 闭，则 T 必为有界可逆算子；丁：仅要求 X 完备而 Y 不完备时，闭图像定理结论仍必成立。其中正确的命题是（　　） A. 甲、乙　B. 甲、乙、丙　C. 甲、乙、丙、丁　D. 仅乙

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2. 设 X 是线性空间，其上给了两个范数 ‖·‖₁ 与 ‖·‖₂，且 X 关于这两个范数都成为 Banach 空间。若存在常数 C>0，使得对一切 x∈X 有 ‖x‖₁ ≤ C‖x‖₂，则下列结论正确的是：A. 两个范数 ‖·‖₁ 与 ‖·‖₂ 必等价　B. 两个范数 ‖·‖₁ 与 ‖·‖₂ 一定不等价　C. 仅当 C=1 时两个范数才等价　D. 两个范数是否等价取决于 X 是否有限维

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3. 设 X, Y 为 Banach 空间，T: X→Y 是有界线性算子。依据逆算子定理（开映射定理的推论），下列条件组合中哪一个能保证 T 的逆算子 T⁻¹ 存在且有界？ A. T 是双射（满单射），无需其他条件 B. T 仅是单射且 T(X) 在 Y 中稠密 C. T 仅是满射，且 X 完备 D. ‖Tx‖≥c‖x‖ 对某常数 c>0 成立

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4. 设 X、Y 为 Banach 空间，T: X→Y 为有界线性算子且是双射。下列结论正确的是：A. T 不一定是开映射，T⁻¹ 未必有界 B. 由逆算子定理知 T⁻¹ 有界，故 T 是开映射 C. T 是开映射，但 T⁻¹ 可能无界 D. T 的图像闭当且仅当 T⁻¹ 无界

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5. 设 X、Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 为线性算子。根据闭图像定理，下列结论正确的是：A. 若 T 的图像 Graph(T)={（x,Tx）：x∈X} 是 X×Y 中的闭集，则 T 必连续　B. 若 T 连续，则 T 的图像必不闭　C. 图像为闭集的线性算子 T 一定有界，无需 X、Y 完备　D. 若 T 的图像不闭，则 T 一定连续

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6. 设 X、Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 为线性算子。下列关于闭图像定理的表述中，正确的是： A. 若 T 连续，则 T 的图像 G(T)={(x,Tx): x∈X} 在 X×Y 中必闭 B. 若 T 的图像在 X×Y 中不闭，则 T 必连续 C. 闭图像定理表明：图像闭的线性算子 T 一定无界 D. 只要 T 的图像是闭集，无需 X、Y 完备也可保证 T 连续

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7. 设 X, Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 为有界线性算子且 T(X)=Y。下列结论中正确的是（　）A. T 必将 X 中的某开集映射为 Y 中的紧集　B. 存在 c>0，使得对每个 y∈Y 都有方程 Tx=y 的解 x 满足 ||x||≤c||y||　C. T 一定是单射，从而 T⁻¹ 存在　D. T 的零空间 N(T) 必为 {0}

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8. 设 X、Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 是有界线性算子且 T 是满射。则下列结论中正确的是（　　） A. T 必将 X 中的某一点映射为 Y 的零元，即存在 x≠0 使 Tx=0 B. 存在常数 C>0，使得对 Y 中每个 y 都有解 x 满足 Tx=y 且 ∥x∥≤C∥y∥ C. T 必是单射 D. T 的零空间 N(T) 必为 {0}

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9. 设 X, Y 均为 Banach 空间，T: X→Y 是有界线性算子且为满射。由开映射定理，下列结论中必然成立的是（　　） A. T 必为单射，且存在 c>0 使 ‖Tx‖≥c‖x‖ 对一切 x∈X 成立 B. T 将 X 中的开集映为 Y 中的开集 C. T 将 X 中的闭集映为 Y 中的闭集 D. T 将 X 中的有界集映为 Y 中的紧集

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