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紧算子的定义与基本例子 — 数学填空题

泛函分析（大学通用）紧算子 AI 三重审校通过

题目

设 T: l²→l² 为对角算子，对任意 x=(x₁, x₂, x₃, …)∈l²，定义 Tx=(x₁, x₂/2, x₃/3, …, xₙ/n, …)。记 Tₙ 为 T 的截断：Tₙx=(x₁, x₂/2, …, xₙ/n, 0, 0, …)，则每个 Tₙ 为有限秩算子。已知 ||T−Tₙ||=____（用含 n 的表达式作答），由有限秩算子的一致极限可知 T 是紧算子（填“是”或“不是”）。

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