算子范数与有界性连续性等价 — 数学选择题
题目
设 X 为赋范线性空间，T: X→Y 为线性算子，下列命题正确的是（ ）
A. 若 T 连续，则 T 必有界；反之 T 有界时 T 未必连续
B. 若 T 连续，则 T 必有界；反之 T 有界时 T 必连续，即连续与有界等价
C. T 有界当且仅当 T 将 X 中任意有界集映为 Y 中的有界集，且此时必有 ‖T‖≤1
D. 算子范数 ‖T‖=sup{‖Tx‖: ‖x‖≤1}，且总有 ‖Tx‖≤‖T‖·‖x‖ 对一切 x∈X 成立，故若 ‖T‖=0 则 T 不一定是零算子