大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《格林函数法》练习题

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本单元考点（5 个）

格林函数与δ函数基本解的求解格林函数的对称性积分表示与解的构造边界条件对格林函数的影响

本单元练习题（18 题）

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1. 设 Ω 为平面有界区域，边界为 ∂Ω，其周长记为 L。关于拉普拉斯方程第一类（Dirichlet）与第二类（Neumann）边值问题的格林函数，下列说法正确的是： A. Dirichlet 格林函数在边界上满足 G=0，而 Neumann 格林函数在边界上满足 ∂G/∂n = -1/L（常数），且 Neumann 格林函数只能确定到相差一个常数 B. 两类格林函数在边界上都满足 G=0，区别仅在内部源点位置 C. Neumann 格林函数不需要附加任何条件就唯一确定 D. Dirichlet 格林函数的存在需要边界数据满足相容性条件，而 Neumann 格林函数无需任何相容性条件

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2. 设一维区间 [0,1] 上算子 d²/dx²（带狄利克雷齐次边界条件）的格林函数为：G(x,ξ)=x(1−ξ)，当 x≤ξ；G(x,ξ)=ξ(1−x)，当 x≥ξ。利用格林函数的对称性 G(x,ξ)=G(ξ,x)，求 G(1/4, 3/4)+G(3/4, 1/4) 的值。 A. 1/4　B. 1/8　C. 3/16　D. 1/16

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3. 设 u(x,y) 在圆盘 x²+y²<4 内调和，在边界 x²+y²=4 上取值 u=1+cosφ（φ 为极角）。利用圆盘的狄利克雷格林函数（泊松积分公式），写出 u 在点 (x,y)=(1,0) 处的积分表示并求值：u(1,0)=____

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4. 设 M、M₀ 为平面上两点，r=|MM₀|。二维拉普拉斯方程 Δu=0 的基本解 Γ(M,M₀) 是指在 M≠M₀ 处满足 ΔΓ=0，且 ΔΓ=−δ(M−M₀) 的函数。下列函数中，可作为二维拉普拉斯方程基本解的是（　） A. (1/2π)·ln(1/r) B. 1/(4πr) C. (1/2π)·r²·ln r D. (1/4π)·e^(−r)

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5. 设 Ω 为半径 R=1 的三维单位球，记 ∂Ω 为其球面。G_N(M;M₀) 为该球上拉普拉斯方程第二类（Neumann）边值问题的格林函数，它在 ∂Ω 上满足 ∂G_N/∂n ≡ c（n 为单位外法向）。若在 Ω 内对 G_N 与调和函数 1 应用第二格林公式（G_N 的奇性按基本解 1/(4π|M−M₀|) 处理），则常数 c = ____。

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6. 设上半平面 Ω={(x,y):y>0}，M₀=(0,1)。用镜像法得拉普拉斯方程 Dirichlet 格林函数 G_D(M;M₀)=(1/2π)[ln r₂ − ln r₁]，其中 r₁=|M−M₀|，r₂ 为 M 到镜像点 M₀′=(0,−1) 的距离。已知 G_D 在边界 y=0 上恒为零（Dirichlet 条件的体现），而其边界上的外法向导数一般不为零。记边界点 P=(0,0)，则外法向为 n=(0,−1)，法向导数 ∂G_D/∂n|_P = −∂G_D/∂y|_P。计算得 ∂G_D/∂n|_P = ____（用含 π 的数表示）。这正说明：边界条件的类型不同，格林函数在边界上为零的量也不同——Dirichlet 格林函数边界值为零，而其法向导数不为零。

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7. 设 φ(x)=x²+2x 为定义在 ℝ 上的光滑函数，δ(x) 为一维狄拉克函数。利用 δ 函数的筛选性质及换元关系 δ(a(x−x₀))=(1/|a|)δ(x−x₀)（a≠0），计算积分 ∫₋₁² (x²+2x)δ(2x−1)dx = ____

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8. 设 u 满足上半平面 y>0 内的拉普拉斯方程 Δu=0，且在边界 y=0 上 u(x,0)=f(x) 有界。利用上半平面的狄利克雷格林函数，解的积分表示式为（　） A. u(x,y) = ∫₋∞⁺∞ [y/((x−ξ)²+y²)]·f(ξ)/π dξ B. u(x,y) = ∫₋∞⁺∞ [y/((x−ξ)²+y²)]·f(ξ)/(2π) dξ C. u(x,y) = ∫₋∞⁺∞ [(x−ξ)/((x−ξ)²+y²)]·f(ξ)/π dξ D. u(x,y) = ∫₀^y [y/((x−ξ)²+y²)]·f(ξ) dξ

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9. 设 u(x,y) 在单位圆盘 x²+y²<1 内满足拉普拉斯方程 Δu=0，在边界上取值 u(cosθ, sinθ)=cos2θ。利用圆盘的狄利克雷格林函数得到的泊松积分表示式 u(r,θ)=∫₀^{2π} P(r,θ−φ)cos2φ dφ（P 为泊松核），试求该解的表达式：u(r,θ)=____

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10. 三维空间中，拉普拉斯算子的基本解为 G(r)=1/(4πr)，其中 r=|x|，且满足 ΔG=−δ(x)（δ 为三维狄拉克函数）。设 Ω 为以原点为球心、半径 R=1 的球体，则广义积分 ∭_Ω ΔG dV 的值为多少？ A. −1　B. 0　C. 1　D. 1/(4π)

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11. 关于三维狄拉克函数 δ(x) 与拉普拉斯算子基本解，下列说法正确的是： A. δ(x) 是一个在原点处取值为无穷大、其余处为零，且在全空间积分为 1 的广义函数 B. δ(x) 在全空间的积分等于 0 C. 基本解 G(r)=1/(4πr) 满足 ΔG=δ(x) D. δ(x) 是一个普通的连续函数

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12. 设 Ω 为平面有界区域，G₁(M;M₀) 与 G₂(M;M₀) 分别表示同一区域上拉普拉斯方程第一类（Dirichlet）与第二类（Neumann）边值问题的格林函数。关于边界条件对格林函数的影响，下列说法正确的是 A. G₁ 在边界 ∂Ω 上满足 G₁=0，且 G₁ 关于 M、M₀ 具有对称性 G₁(M;M₀)=G₁(M₀;M) B. G₂ 在边界 ∂Ω 上满足 G₂=0，但其法向导数不为零 C. 两种格林函数仅相差一个常数因子，即 G₂=2G₁ D. 更换边界条件的类型不会影响格林函数，两种格林函数完全相同

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13. 设 M=(x,y,z)，M₀=(x₀,y₀,z₀)，记 r=|MM₀|。三维拉普拉斯方程 Δu=0 的基本解 Γ(M,M₀) 是指满足 ΔΓ=−δ(M−M₀) 且在 M≠M₀ 处调和的球对称函数。利用高斯公式对以 M₀ 为中心、半径为 ε 的球面积分，可得 Γ(M,M₀)=____（用 r 表示）。

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14. 设 r=√(x²+y²) 为平面上点到原点的距离，δ(x,y) 为二维狄拉克函数。已知二维拉普拉斯算子的基本解 G(r) 满足 ΔG=−δ(x,y)（原点除外处处调和）。则下列函数中能作为二维基本解的是：A. G(r)=(1/2π)ln(1/r)　B. G(r)=1/(2πr)　C. G(r)=(1/2π)ln(r)　D. G(r)=1/(4πr²)

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15. 设三维拉普拉斯算子 Δ 在无穷空间中的基本解（格林函数）为 G(M,M₀)=1/(4πr)，其中 r 为点 M(x,y,z) 与 M₀(ξ,η,ζ) 之间的距离，即 r=√[(x−ξ)²+(y−η)²+(z−ζ)²]。由格林函数的对称性可知，对任意两点 M 与 M₀，恒有 G(M,M₀)=____。

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16. 设 Ω 为平面上半径为 2 的圆盘，关于其上拉普拉斯方程边值问题的格林函数 G(M;M₀)，下列说法正确的是： A. 第一类（Dirichlet）边值问题的格林函数满足 G|∂Ω = 0 B. 第一类边值问题的格林函数在边界上满足 ∂G/∂n = 0 C. 第二类（Neumann）边值问题的格林函数满足 G|∂Ω = 0 D. 两类格林函数在边界上都恒等于 1

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17. 设一维区间 [0,3] 上算子 −d²/dx² 在狄利克雷齐次边界条件下的格林函数为：当 x≤ξ 时 G(x,ξ)=x(3−ξ)/3；当 x≥ξ 时 G(x,ξ)=ξ(3−x)/3。已知格林函数具有对称性 G(x,ξ)=G(ξ,x)。若直接按分段公式计算 G(2,1) 需选第二段，现改用对称性转化后计算：G(2,1)=G(1,2)=____。

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18. 设 G(x,ξ) 为区间 [0,2] 上算子 −d²/dx² 在第一类齐次边界条件 G(0,ξ)=G(2,ξ)=0 下的格林函数，即对 x≠ξ 满足 d²G/dx²=0，在 x=ξ 处 G 连续且 ∂G/∂x 跃变为 −1。记 ξ=1/2，则积分 ∫₀² G(x, 1/2) δ(x−1/2) dx = ____。

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