边界条件对格林函数的影响 — 数学填空题
题目
设上半平面 Ω={(x,y):y>0}，M₀=(0,1)。用镜像法得拉普拉斯方程 Dirichlet 格林函数 G_D(M;M₀)=(1/2π)[ln r₂ − ln r₁]，其中 r₁=|M−M₀|，r₂ 为 M 到镜像点 M₀′=(0,−1) 的距离。已知 G_D 在边界 y=0 上恒为零（Dirichlet 条件的体现），而其边界上的外法向导数一般不为零。记边界点 P=(0,0)，则外法向为 n=(0,−1)，法向导数 ∂G_D/∂n|_P = −∂G_D/∂y|_P。计算得 ∂G_D/∂n|_P = ____（用含 π 的数表示）。这正说明：边界条件的类型不同，格林函数在边界上为零的量也不同——Dirichlet 格林函数边界值为零，而其法向导数不为零。