大学偏微分方程（数理方程）（大学通用）上册《贝塞尔函数与勒让德多项式》练习题

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本单元考点（5 个）

贝塞尔方程与贝塞尔函数贝塞尔函数的递推关系勒让德方程与勒让德多项式勒让德多项式的正交性生成函数与递推公式

本单元练习题（9 题）

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1. 下列关于 n 阶贝塞尔方程 x²y″+xy′+(x²−n²)y=0 的解的说法中，正确的是（　）。 A. 对任意实数 n，该方程的两个线性无关解都是 Jₙ(x) 与 Yₙ(x) B. 当 n 为非负整数时，J₋ₙ(x)=(−1)ⁿJₙ(x)，此时 Jₙ 与 J₋ₙ 线性相关 C. Jₙ(x) 对任意 n 都是 x 的幂级数，且在 x=0 处发散 D. 第二类贝塞尔函数 Yₙ(x) 在 x=0 处有界

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2. 设 Pₙ(x) 为勒让德多项式，则积分 ∫₋₁¹ P₂(x)P₃(x)dx 的值为（　） A. 0　B. 2/7　C. 1/5　D. 2/5

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3. 设 Pₙ(x) 为勒让德多项式，则定积分 ∫₋₁¹ [P₂(x)]² dx 的值为（　）。 A. 2/3　B. 2/5　C. 2/7　D. 1

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4. 已知勒让德多项式的生成函数为 (1−2xt+t²)^(−1/2) = ∑(n=0→∞) Pₙ(x)tⁿ。由生成函数可导出递推公式 (n+1)Pₙ₊₁(x) = (2n+1)xPₙ(x) − nPₙ₋₁(x)。结合 P₀(x)=1，P₁(x)=x，逐次用该递推公式求出 P₄(x)，则 P₄(0) 等于 A. 3/8　B. −3/8　C. 3/4　D. 1/2

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5. 设 Pₙ(x) 为勒让德多项式，利用其正交性，积分 ∫₋₁¹ [P₁(x)]² dx 的值为（　） A. 2/3　B. 2/5　C. 2/7　D. 1

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6. 关于整数阶贝塞尔函数 Jₙ(x)（n 为整数），下列结论正确的是（　）。 A. J₋ₙ(x) = (−1)ⁿ Jₙ(x)，故 J₋ₙ 与 Jₙ 线性相关 B. J₋ₙ(x) = Jₙ(x) 对一切整数 n 成立 C. J₀(0) = 0 D. Jₙ(x) 对任意 n 都是偶函数

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7. 利用勒让德多项式的生成函数可导出递推公式 (n+1)Pₙ₊₁(x)=(2n+1)xPₙ(x)−nPₙ₋₁(x)。据此将 xP₄(x) 表示为 P₅(x) 与 P₃(x) 的线性组合，则 xP₄(x)= A. (4/9)P₅(x)+(5/9)P₃(x) B. (5/9)P₅(x)+(4/9)P₃(x) C. (5/7)P₅(x)+(2/7)P₃(x) D. (3/5)P₅(x)+(2/5)P₃(x)

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8. 利用贝塞尔函数的递推关系：Jₙ′(x) = Jₙ₋₁(x) − nJₙ(x)/x（n≥1）。已知 J₀(1)=0.765，J₁(1)=0.440，则导数值 J₁′(1) 等于（　） A. 0.325　B. 0.440　C. 0.985　D. 1.205

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9. 利用贝塞尔函数的生成函数可导出递推公式 Jₙ₋₁(x)+Jₙ₊₁(x)=(2n/x)Jₙ(x)。设 J₀(3)=1/4，J₁(3)=1/8，则由该递推公式（取 n=1）可得 J₂(3) 等于多少？ A. −1/6　B. 1/6　C. −1/12　D. 5/24

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